微分してください…

質問

図形の面積の最大値を求める問題で、
最後に面積を与える関数が

f(t)=sin(t)/{2^(3/2)-(3^(1/2))*cos(t)}（０≦ｔ≦π）

となったのですが（見にくくてすいません、ルート記号が出なかったので）
これを微分して増減を調べると、なぜか
「減少→増加」の形になっていました。
本当はｔ＝０・πのときf(t)＝０となるべきなので、
明らかに不適なんです。

そういうわけで、この関数を微分していただきたいのです。
できればその過程も詳しく…
もし正しく微分しても上記のようになるようでしたら、
f(t)を求めなおしてみますので。

どうぞよろしくお願いします。

回答No.2

wataken44

自信ないけど
とりあえず商の形の関数の微分
(g(x)/h(x))'=(f'(x)g(x)-f(x)g'(x))/g(x)^2
を頭に入れましょう。
これをもとに
f'(t)=[cos(t)*{2^(3/2)-3^(1/2)cos(t)}-sin(t)*3^(1/2)sin(t)] / {2^(3/2)-3^(1/2)cos(t)}^2
=[2^(3/2)cos(t)-3^(1/2)*{cos^2(t)+sin^2(t)}] / {2^(3/2)-3^(1/2)cos(t)}^2
={2^(3/2)cos(t)-3^(1/2)} / {2^(3/2)-3^(1/2)cos(t)}^2
0<=t<=π で 2^(3/2)-3^(1/2)cos(t)≠0 から
a=acos{6^(1/2)/4}　とすると下のようになります。
(注：cos(a)=6^(1/2)/4　です。高校では習わない記号なので念のため)
0<=t<a　f'(t)>0　f(t)　は単調増加
a<t<=π　f'(t)<0　f(t)　は単調減少
従って　t=a　で　f(t)　は最大値をとる
ちなみにこの時　f(a)=5^(-1/2)　です。

微積分は丁寧に計算する事がまず第一歩です。がんぱってください

補足

うぁ…
すいません、問題の式間違えてました！
本当は分母全体が２乗です。
皆さんの解答を参考に、もう一度じっくり解き直してきます。
親切に解答していただいたのに、本当に申し訳ありませんでした…。

回答No.1

Nandayer

微分するのは面倒なので（御指示に従わず、すみません）、EXCEL で数値計算させてみました。
　すると、
　　　・ｔ＝０ で f(t) = 0
　　　・そのあと f(t) は増加
　　　・ｔ＝０．２９π あたりで最大値 f(t) = 0.447...
　　　・そのあと f(t) は減少
　　　・ｔ＝π で f(t) = 0
という結果が出ました。
　　御参考にしていただければ幸いです。