高木曲線について質問です

質問

φ(x)=2x(0≦x≦1/2) or 2(1-x)(1/2≦x≦1)
とし、高木曲線を
T(x)=φ(x)/2+φ^2(x)/4+φ^3(x)/8+…+φ^n(x)/2^n+…
とすると、高木曲線T(x)のグラフは1/4≦x≦1/2の部分のグラフを縮小したものになっており、1/4≦x≦1/2の部分の高木曲線T'(x)を考えれば
T(x)=T'(x)+1/2
が成り立つ
と書いてありました。
1/4≦x≦1/2のφ(x)を新たに考えなければならないとおもうんですが、どうすればいいのかわかりません(>_<)
わかる方よろしくお願いします

回答No.1

muturajcp

φ(x)=2x(0≦x≦1/2)or 2(1-x)(1/2≦x≦1)
T(x)=Σ_{n=1～∞}φ^n(x)/2^n
1/4≦x≦1/2のとき
φ(x)=2x
φ(x)/2=x
1/2≦2x≦1
φ^2(x)=φ(φ(x))=φ(2x)=2(1-2x)=2-4x
φ^2(x)/4=(1-2x)/2=(1/2)-x
φ(x)/2+φ^2(x)/4=x+(1/2)-x=1/2
0≦2-4x≦1
φ^3(x)=φ(φ^2(x))=φ(2-4x)

1/4≦x≦3/8のとき
1/2≦2-4x≦1
0≦4x-1≦1/2
φ(2-4x)=2(4x-1)=φ(4x-1)

3/8≦x≦1/2のとき
0≦2-4x≦1/2
1/2≦4x-1≦1
φ(2-4x)=2(2-4x)=2(1-(4x-1))=φ(4x-1)
だから
φ^3(x)=φ(2-4x)=φ(4x-1)

n≧3に対して
φ^n(x)=φ^{n-2}(2-4x)=φ^{n-2}(4x-1)
φ^n(x)/2^n=φ^{n-2}(4x-1)/2^n
だから
T(x)=φ(x)/2+φ^2(x)/4+Σ_{n=3～∞}φ^n(x)/2^n
T(x)=1/2+Σ_{n=3～∞}φ^n(x)/2^n
T(x)=1/2+Σ_{n=3～∞}φ^{n-2}(4x-1)/2^n
T(x)=1/2+Σ_{n=1～∞}φ^n(4x-1)/2^{n+2}
T(x)=1/2+[Σ_{n=1～∞}φ^n(4x-1)/2^n]/4
T(x)=1/2+T(4x-1)/4
だから
T'(x)=T(4x-1)/4
とすると
T(x)=1/2+T'(x)
が成り立つ

1/4≦x≦1/2のφ(x)に対応するものはφ^3(x)=φ(4x-1)