心臓形の面積＆微分

質問

微分の問題なんですけどわかる方いらっしゃいませんか？
教えてください。

心臓形 r=a(1+cosθ)　　（極座標表示）
によって囲まれた領域の面積。

陰関数 x^3+y^3-2axy=0　の導関数

以上の２つです。お願いします。

回答No.3

sakura_214 · ベストアンサー

> 心臓形 r=a(1+cosθ)　　（極座標表示）
> によって囲まれた領域の面積。

面積なので何かしら積分を使うことはすぐにわかると思いますが，その際積分計算そのものよりも，積分領域をきちん書き下すことが大切です．
この問題の心臓形（カージオイド）r=a(1+cosθ)で囲まれる領域Dは，
D={(r,θ)|0≦r≦a(1+cosθ), 0≦θ≦2π}
と表せるので，
S=∬_[D]dxdy=∬_[D]rdrdθ　（←rはヤコビヤンによるもの）
=∫[0,2π]dθ∫[0,a(1+cosθ)]rdr
=∫[0,2π]dθa^2(1+cosθ)^2/2
=(a^2/2)∫[0,2π]dθ(1+2cosθ+(cosθ)^2)
=(a^2/2)∫[0,2π]dθ(3/2+2cosθ+cos2θ/2)　（←cosθ,cos2θの積分結果は明らかに0なので定数項だけみましょう）
=3πa^2/2

> 陰関数 x^3+y^3-2axy=0　の導関数

形式的にこのままxもyもそのまま微分していきましょう．その際yの微分ではdy/dxがつくことを忘れずに．
3x^2+3y^2(dy/dx)-2ay-2ax(dy/dx)=0
(3y^2-2ax)(dy/dx)=-(3x^2-2ay)
dy/dx=-(3x^2-2ay)/(3y^2-2ax)

回答No.2

keyguy

/2の抜けがありました。

微小扇型の面積は
π・r^2・dθ/(2・π)=r^2・dθ/2
従って面積は
∫(0<θ<2・π)・dθ・r^2/2

yがxの関数でありfがyの関数であるとき
f(y)をxで微分するとf'(y(x))・y'(x)であることをもとに
両辺を微分すれば良い。
右辺は0左辺は？

回答No.1

keyguy

微小扇型の面積は
π・r^2・dθ/(2・π)=r^2・dθ/2
従って面積は
∫(0<θ<2・π)・dθ・r^2

yがxの関数でありfがyの関数であるとき
f(y)をxで微分するとf'(y(x))・y'(x)であることをもとに
両辺を微分すれば良い。
右辺は0左辺は？