「確率」(中学2年)の疑問

質問

こんにちは。
私は現在中学２年の「確率」を習っているのですが、自身の頭の固さ故に凄く不思議でならないことがあります。お時間がある方、数学に詳しいお方はぜひご回答宜しくお願いいたします。そんな根本的なところから・・・と思われるかもしれませんが、見過ごしてやってください。
　なかなか説明がつたないんですが...私の説明がお解りになる素晴らしいお方は宜しくお願いします。
　例に問題を挙げさせて頂きます。
問題：１０円玉３枚を、同時に投げます。そのとき、投げた３枚のうち、２枚が表(以下○)、残り１枚が裏(以下×)になる確立はいくらですか。
　模範解答は８分の３です。模範解答はもう決まっているのにどうしても理解できません。
私が不思議に思うのは...、模範解答では８通りのうち３通りが
○○×
○×○
×○○
のどれかということになりますよね。でも、この問題の場合、
ＡＢＣ
○○×
○×○
×○○
と、ＡＢＣのように出る順番までもが設定されているわけではないので、８通りもいらないと思うのです。ＡＢＣのように順番を設定しなくていいという事は、３枚をＡＢＣ別にみるという事ではなくて、３枚を全体で見ていいということです。だとしたら「○○×」と「×○○」は一緒ではないのでしょうか...？
○○○
○○×←これが問題の求める○２枚、×１枚
○××
×××
４分の１の気がするのですが(模範解答が正解ですけれども...)
「×○○」も「○○×」も、○２枚、×１枚で１通り、３枚全体で見れば全く一緒なのに、それを一緒ではなく別々に２通りと数えるのは何故ですか？
　よく分からない説明ですみません。これでも相当難しかったんです・・・。お暇があれば詳しくお聞かせ下さい。

回答No.3

Karinpapa · ベストアンサー

補足します。
確かに「×○○」も「○○×」も一緒に見えますよね。コインが２枚表、という点では一緒です。ただし、同じように見えても、ＡＢのコインが表の場合、ＡＣのコインが表の場合、ＢＣのコインが表の場合と、実際には３つの可能性があるんですよね。逆に、全部表の場合はどうでしょう。ＡＢＣ全て表の場合だけになるので、全部表のパターンは１つしかありませんよね。
もしもＡＢが表、Ｃのみ裏という条件が付けば、確率的には全部表と同じく８分の１ということになります。ですがここではＡＢＣのコインの区別がないため、２つが表になる３つのパターン全て同様に扱う必要があるわけで、確率は３倍、つまり８分の３になる、というわけです。理解していただけたでしょうか。

お礼

私の足りない説明力でここまで理解してくださって、このご回答は素晴らしい他ありません。おかげさまで分からなかった根本的な部分も理解することができました(どうにかこうにか・・・笑)。
　もやもやしていたものもすっきり晴れました。
とても感謝しております！　本当に有り難うございました。

回答No.5

k_0z

考えすぎると難しくなりますね。

ＡＢＣは順番という意味ではないです。
ＡＢＣそれぞれに確率が発生すると考えましょう（全部50％で同じですが）
分かりにくければ、順番に投げると考えてもいいでしょう。

一枚の場合は、
１、○
２、×
の二通りです。
確率はどちらを選んでも、二分の一です。
分かりやすく（二通りの可能性がある）と考えましょう。

次に二枚の場合は、
一枚目が表なら
１、○○
２、○×
のどちらかになります。
一枚目が裏なら
３、×○
４、××
のどちらかになります。

つまり、一枚目の二通りの可能性の両方に対して、さらに二通りの可能性が出てくる、２×２で四通りの可能性があることになります。

同じように３枚の場合は、２×２×２で８通りの可能性があります。
この８が、分母になります。

次に分子を求めましょう。
組み合わせは八通りですが、
一枚目に×が来た場合は×○○
二枚目に×が来た場合は○×○
三枚目に×が来た場合は○○×
これ意外の組み合わせでは、×が２つになったりします。

よって分子は３となります。
八分の三が答えになります。

お礼

私の分からなかった基本的な部分だけでなく、分かりやすい発展的な部分まで教えてくださって本当に有り難うございます！
これからまだまだ「確率」の授業は嫌なほどあるので・・・(苦笑)、これからの参考にもしたいと思います。実は一度周りの人にも聞いたのですが、よく分かりませんでした。こんなに簡単に分かっちゃってもいいのか、と思うほどのご回答、とても感謝しております！

回答No.4

loster

ABC別に見るというのは、最初からABCが何か決まってるわけではありません。あくまで分かりやすいように後から付けたようなものです。

３枚同時に投げたとします。
とりあえず左に落ちたコインから順にA、B、Cとします。
Aが○の場合、BとCが○○、○×、×○、××と４通りあります。
つまり○○○、○○×、○×○、○××です。
Aが×の場合、BとCが○○、○×、×○、××と４通りあります。
つまり×○○、×○×、××○、×××です。

ここで大事なのが、どのコインをAにしようがBにしようが同じだと言う事です。
仮にコインにA、B、Cと表記してあったとしても、問題文にABCが絡んでいないのでどれが表で裏でも構わないのです。

お礼

あくまで分かりやすいようにつけたものなんですよね・・・すぱっと言われて、とてもこの問題を考えやすくなりました。
　周りの人に聞くよりもよっぽど内容を理解してくださってビックリです。
　通りすがりのお方だと思いますが、このような面倒な質問に答えてくださって本当に有り難うございました。

回答No.2

Willyt

質問の内容は○○×　と　○×○　と　×○○　は　一つの×ということで一通りではないかということに尽きますね。これは３枚のコインに色をつけて見るとどうなるでしょうか。どの色が×になったかで３通りありますね。色がついていない状態で上記が一通りに見えるのはそう見えるだけで実は３通りあることが、色をつけて見るとよく分ります。結局裏がえったコインはどれが裏返ったか分らないだけで、３通りあるのですよ。

お礼

短文(すみません。私に比べてです)でよく詳しいところまで説明してくださって・・・本当に有り難うございます！
色を付けてみるなど、具体的な方法を挙げてくださってとてもあり難かったです。短いお礼文ですみません。
　心から、本当に有り難うございました。

回答No.1

Karinpapa

確かに、全部表、１枚表、２枚表、全部裏　と考えると４パターンになりそうですが、１枚表のパターンは○××、×○×、××○と３つあり、２枚表のパターンも○○×、○×○、×○○と３つあるので、全部で８通りの出方があるということですね。確かに２枚表になるパターンは、上記のどれでも一緒と思うでしょうが、全部表のパターンに比べて３パターンある分、３倍出やすいのです。出方のパターンは確かに４種類ですが、確率が違う以上、単純に４分の１とはできないのです。
　別の考え方をしますと、３枚のコインはそれぞれ表か裏が出ます。つまりそれぞれのコインにつき２つのパターンがありますので、２×２×２で８通りの出方があることになります。そのうち表が２枚になるパターンは、上記の３パターンあることになりますので、８分の３であるということになります。

お礼

逸早くご回答くださって有り難うございます・・・！
私の分かりにくい説明を前にしても、とてもよいアドバイスをしてくださって、嬉しいと共に少し知識が増えた(・・・？)ような気が致します。
できるだけわかりやすく説明してくださったようで、参考になるものばかりでした。心から、本当に有り難うございます。