確率の計算について

質問

こんにちは

確率の計算について質問がありましたので、投稿させていただきました。

「3個のさいころを同時に投げて、出る目の最大値が4である確率を求めよ」という問いで、
模範解答は、「3個の目がすべて4以下である場合から、3個の目がすべて3以下である場合を除けばよい」とありました。

この回答には納得がいったのですが、
僕は最初、以下のように考えていました

「出る目の最大が4であるということは、少なくとも1回は4がでてないといけない。
3回のうち、ひとつは4が出る確率、と、あとは4以下の目が出る確率を求めればいい。」

ところが、何回やっても、模範解答の解答が出てきません。

ということは、考え方に問題があるのがわかるのですが、
どこに矛盾があるのでしょうか？

回答いただけると嬉しいです。

回答No.2

noname#212313 · ベストアンサー

>「3個の目がすべて4以下である場合から、3個の目がすべて3以下である場合を除けばよい」

　正しい考え方の一つです。これは、

Ａ１：3個の目がすべて4以下である
Ａ２：3個の目がすべて3以下である

と書けば、何をしようとしているかが多少はっきりするかもしれません。

　Ａ１は、少なくともそうでないなら（5以上が出てしまうなら）最大値が5以上になってしまうというものです。Ａ１の確率は、1回の試行で4以下なのは、4/6ですから、3回なら(4/6)^3＝64/216。しかし、これだけだと3以下が最大値の場合も含んでしまいます。

　そこで、Ａ２を考えるわけですね。3以下の最大値になる確率は（最大値が2でも1でもよい）、Ａ１と同様に計算できて、(3/6)^3＝27/216。

　4が最大値である場合の数は、Ａ１の場合の数からＡ２の場合の数を引いたものになります。ですので確率も引き算になり、64/216-27/216＝37/216。

>「出る目の最大が4であるということは、少なくとも1回は4がでてないといけない。
3回のうち、ひとつは4が出る確率、と、あとは4以下の目が出る確率を求めればいい。」

　これも考えている一つ一つを箇条書きにすれば、

Ｂ１：（3回の試行全てで）4以下の目が出る確率
Ｂ２：3回のうち、ひとつは4が出る確率

となります（模範解答と比べやすいよう、元の文章と順序を入れ替え、少し書き足しています）。

　Ｂ１はＡ１と同じことを言っています。確率は(4/6)^3＝64/216（＝8/27）です。

　Ｂ２はそのままでは求めにくいですね。1回の試行で4が出る確率は1/6ですが、3回なら1/6+1/6+1/6＝3/6になるかといえば、そんなことはありません。何度やっても、4が出てこないってことは、ときどき体験します（4でなく、他の目でもよく、6などだとよく経験していそう）。

　こういうときは、逆にしてみる、つまり「3回やって一度も4が出ない」で考えるのが便利です（あくまでも「ひとつは4が出る」の考え方でやれないことはないけど、場合分けなどでとても煩雑になる）。

　4が出ない確率は5/6で、それが3回続けて起こる確率は、(5/6)^3＝125/216です。ということは、そうでない確率（すなわち、最低でも一度は4が出る確率）は、1-125/216＝91/216となります。

　与えられた条件の確率が、Ｂ１という条件下で、Ｂ２が起こればよいのだとすると、確率は単純にＢ１、Ｂ２で求めた確率の掛け算になります。しかし、それでは模範解答と答が合いません。

　ここで「あれ？」と思われたのでしょうか。もし違っていたらすみません。ただ、こういうパターンの間違いもときどき起こります（さらには、Ｂ１で1/6を試行回数分足してしまうミスも、ときどきある）。

　Ｂ１はとりあえずいいとしておきましょう。4以下ばかり出るというのは、5や6が一度も出ないということにもなっており、Ｂ２で求めたいものの逆を考えたように、割とよくやる、手堅い方法です。

　Ｂ１が成立して、さらに3以下が最大値である場合を引き算的に除外しようとしたのがＡ２ですね。考え方として、おかしな点は見つけられません。

　Ｂ２のほうはどうか、ということになります。Ｂ２の確率を求めるときに、「4が出ない確率」で考えてみました。それは「5や6でもいい」ということになります。ここがちょっとおかしいようです。

「4以下だけ出る」という確率に対して、「5や6もあり得る確率」で単純に計算していいかどうか、ちょっと分からない感じです。分からないなら証明せねばなりませんが、おそらく「できない」ということになるでしょう。

　もし、「Ｂ２’：Ｂ１が成立する場合について、一度は4が出る」とすればどうでしょうか。これはＢ１も内容に書き足してみると「Ｂ２’’：5も6も出なくて、一度は4が出る」ということになります。

　これなら大丈夫です（よく考えると問題文が求めるものそのものになっていますが、Ｂ１とＢ２二つで問題文の求めるものを表そうとしたのだから当たり前で、求めたいものが正しく記述された証拠でもある）。

　Ｂ１、Ｂ２のセットで、どこを間違えたかだけにお答えするなら、5と6を含めない条件において「あとは4以下の目が出る確率を求めればいい」としようとして、5と6を含めた確率を使っているから、ということになります（お考えの解き方と異なっていたらすみません、上記のように考えた場合の間違いと受け取ってくださると幸いです）。

P.S.

　ただ、申し訳ないことですが、私ではこの方法（Ｂ１～２’）で簡単に解く方法は分かりません。Ｂ１が起きたときのＢ２、というのは「従属（の事象、確率）」という呼び方をします。条件を限定して、さらのその場合でさらに条件を限定する、というものです。

　どうしてもやってみるなら、場合の数で考えれば、何とかなりはします。

１．3回の試行での場合の数は、6×6×6＝216。

２．4以下だけの場合で、一度4が出る場合の数は、「4が出る」のは場合の数として1通りですから、4が一度だけだと1×3×3＝9通り（5、6は除外しているので、3、2、1の目の場合しか考えない。これがこの解き方での従属ということ）。それが1度目、2度目、3度目どれでもいいので、9×3＝27通り。

３．4が二度出るなら、1×1×3＝4通りで、4が出るのが1度目と2度目、1度目と3度目、2度目と3度目の3パターンありますから、3×3＝9通り。

４．4が三度は1通りなのは明らかです。

（※4以下だけ3回出る場合の数は、4×4×4＝64ですが、もう4が一度、二度、三度出るパターンを考えてしまっているので不要になっています。）

　１があり得る全ての目の出方の場合の数で216通り。２～３のどれかでいいのですから、それらの場合の数を足せば、27+9+1＝37通り。確率は、37/216となります（模範解答と一致する）。

　模範解答の方法、Ａ１、Ａ２ですと、4以下、3以下というだけで、どちらかがもう一方の条件とはなっていません。こういうものを「独立」という呼び方をします。サイコロを3回振るのも、出た目が次の出る目に影響したりしませんから、1回ごとに「独立（の事象、確率）」です。「独立」の便利なところは、確率（や場合の数）が単純計算でいいところです。上記でやったように、単純な掛け算や足し算でできます。

「従属」だとややこしくなるのは、単純な掛け算や足し算ができないからなのです。「従属」でしか考えられないときは仕方ありませんが、できるだけ「独立」で考えて解けるように工夫するのがいいでしょう。

補足

>Ｂ２のほうはどうか、ということになります。
Ｂ２の確率を求めるときに、「4が出ない確率」で考えてみました。
それは「5や6でもいい」ということになります。ここがちょっとおかしいようです。

>「4以下だけ出る」という確率に対して、「5や6もあり得る確率」で単純に計算していいかどうか、
ちょっと分からない感じです。
分からないなら証明せねばなりませんが、おそらく「できない」ということになるでしょう。

つまり、b1で指定されてる範囲を超えてる部分(5や6が出る確率)が
b2にはあるから、計算が狂ってしまうということですね？

なるほど、すっきりしました。

>「従属」だとややこしくなるのは、単純な掛け算や足し算ができないからなのです。
>「従属」でしか考えられないときは仕方ありませんが、
>できるだけ「独立」で考えて解けるように工夫するのがいいでしょう。

お気遣いありがとうございます。

勉強になりました。

回答No.3

noname#212313

#2です。

>つまり、b1で指定されてる範囲を超えてる部分(5や6が出る確率)がb2にはあるから、計算が狂ってしまうということですね？

　おそらくそうなのですが、私では「ここがこう間違っているから、こうなっている」ということをきちんと示せませんでした。間違っているとするからには、きちんと証明しないといけないのですが、ちょっとそこまで手が出せませんでした。この点、お詫びしてご了承をお願いします。

　どういうことかと申しますと、例えば「質問者様の考えた確率が正しく、模範解答が間違っている」と誰かが主張したとして、「模範解答に間違いは見つけられない」では、非常に弱いのです。さすがに「1+1=2か？　1+1=3か？」ならば、迷うことはないですが、確率はしばしば直感に反します。

　たった一つ分かるのは「5以上を排除した前提で、5や6を含めた確率を用いて計算してよい」かどうかは、証明抜きには不明ということです。もし間違いがあるとすれば、そこしかなさそうです。そして、模範解答以外で質問者様のお考えに近い（と私が思った）解法では、模範解答が示す確率と一致します。

　そこで、「模範解答は紛れの少ない解法だし、問題なさそうな別解も踏まえると、たぶん模範解答が示す確率が正しくて、質問者様の解法で間違いがあるとすれば、4以下の前提で5と6を含めた確率計算のところのはず」という、あまりすっきりしない回答が先のものになります。もし、どうしてもきっちり間違いがどこかを回答せよと仰せであれば、お詫びしてこれ以上出来ないと申し上げるしかありません。すみません。

補足

返事遅れてすみません。

補足していただき、ありがとうございます。

そこまで丁寧に回答してくだされば、僕には十分すぎるほどです。

親切にありがとうございました。

回答No.1

f272

1つは4がでるので確率1/6，残りは4以下だから確率(4/6)^2で，あわせて1/6*(4/6)^2=16/216ということ？
これでは4が3回のうちのどの1回目にでると決め付けているよね。だから，それも考慮して3C1を掛けてみますか？16/216*3C1=48/216
これでもおかしいよね。4が出るのを数えすぎている。48通りのうち12通りは4が2回出る場合だし，1通りは4が3回出る場合です。正しく計算するなら(48-12+1)/216でないといけないでしょ。

補足

3c1をかけた後、
4が出るのを数えすぎてるという指摘はわかります。
なんとなく、そんな気はしていたので。

(少なくとも)1個は4が出る、と仮定しているのに、
4が2個、3個でる場合も一緒にしてしまっているから、
そのぶんが2回分足されているので、

2個分の場合を引いてやって、(4p2通り)
それだと3個分の場合も引かれているから
また足してやる必要がある(1通り)

ということですか？