結晶中における電子の衝突時間間隔について

質問

ドゥルーデモデルの衝突時間間隔についての質問です。

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ドゥルーデモデルでは時間間隔dtの間に、電子１個が衝突にあう確率はdt/τで与えられる。
このとき以下の２つが成り立つ。

(a)いかなる瞬間においても、前の衝突からの経過時間あるいは次の衝突までの時間の、全電子にわたる平均はτである。

(b)電子１個が２回の連続した衝突をする時の、衝突の時間間隔の平均はτである。

このとき、(a)は、いかなる瞬間においても、最後の衝突と次の衝突との間の時間Tの全電子にわたる平均は2τであることを意味する。
なぜこの結果が(b)の結果と矛盾しないのかを説明せよ。
(アシュクロフト・マーミン固体物理の基礎 １章演習問題)
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数式を用いた解答は手元にあるのですが、この"何故矛盾しないのか？"の直感的なイメージがつかめません。矛盾するように見えてしまいます。
この(a)と(b)のニュアンスの違いと両者の無矛盾性をどうイメージしたらよいかについて、どなたか分かる方ご教示お願いします。
(できれば、数式をつかったらそうなるという以外の回答・アドバイスをよろしくお願いします。)

回答No.2

eatern27 · ベストアンサー

たくさんの人を用意してそれぞれの人にサイコロを持たせます。
サイコロは、１～６の目が1/6の確率で出るとすれば、サイコロを振って出る目の平均は7/2です。

で、それぞれの人に以下の事をさせます。
(1)サイコロを振る
(2)サイコロを振った結果、
　　　　１の目が出た→１秒間待つ→サイコロを振る。
　　　　２の目が出た→２秒間待つ→サイコロを振る。
　　　　・・・
　　　　６の目が出た→６秒間待つ→サイコロを振る。
(3) (2)を繰り返す。

そうすると、「サイコロの目の平均」は時間とともに変化するでしょうが、十分時間が経てば、この平均はある値に落ち着くでしょう。
１の目が出たらすぐにサイコロを振りなおすのに対し、６の目が出たらしばらくそのまま置いておくのですから、全体としては、より大きい目が出ているサイコロが多くなるでしょう。故に、(具体的な値は計算しませんが)この意味の平均は7/2よりも大きくなりますよね。

同じ「サイコロの目の平均」ではありますが、
前者の"平均"＝7/2
後者の"平均"＞7/2
と値が違います。が、これは矛盾ではありませんね？

前者の「平均」は、(b)が言う「衝突の時間間隔の平均」＝τ
後者の「平均」は、(a)が言う「最後の衝突と次の衝突との間の時間Tの全電子にわたる平均」＝2τ
に対応します。

お礼

解答ありがとうございます。
eatern27疑問が一瞬で氷解しました。
二つの平均の違いがそういったところにあるとは。
物理的なイメージ云々よりも、"平均"のイメージが曖昧だったということに気付かされました。
質問内容が解決したのでここで締め切らせていただきます。
ありがとうございました。

回答No.1

noname#210617

(a)は、平均的な電子は前の衝突からτ時間経過し、次の衝突までτ時間ある、と解釈できるから、前の衝突から次の衝突までの平均時間は2τ。

(b)の「2回の連続した衝突」というのは、コンコンと時間差ゼロで衝突するということですよね。そのあと次の衝突までの平均時間はｔとすると、コンコン－コンの時間がｔ。衝突の”間”はコンコンとコン－コンの二つだから衝突の時間間隔の平均はt/2。コン－コンコンでも同じ。
(a)からコン－コンの時間間隔の平均は2τです。だからt/2=τ。

「電子１個が２回の連続した衝突をする」といっても、その後に起きることには何も影響がないというか、平均を論じてるから影響は関係ないというか。(b)の記述にひっかけがあるような。

こんなんで演習になるんかな？

お礼

ohbacomeonさんありがとうございました。

＞「2回の連続した衝突」というのは、コンコンと時間差ゼロで衝突するということですよね。

いいえ、この場合はそういう文意ではありません。
(b)の意味としては、「着目した電子1個の相次ぐ衝突が、衝突と衝突の間にそれぞれの時間間隔を持ち、その各衝突時間間隔の平均がτである」という意味であり、時間間隔がゼロというわけではありません。