移動度とドリフト速度の関係

質問

半導体物性の本を読んでいて、電子のドリフト速度と移動度の関係のところでわからないことがあります。移動度の導出に以下の式が出てきます。
-q * E * τ = m * v
(qは電子の電荷、Eはかけた電界、τは電子のmean free time、mは電子の実効質量、vはドリフト速度)の式がでてきます。それは「電子が次に衝突するまでの間に電界からうけた力で、モーメントはm*vだけ増加する」ということ思いますが、このとき、衝突直後の電子の速度は0で、それがτ後にvまで上がり、そして衝突してまた速度が0になり、の繰り返しが起こっていると解釈しています。つまり時間を横軸、速度を縦軸に取ると、のこぎり状の状態で速度は0とvの間を動いているとイメージしているのですが、違いますでしょうか? もしこのイメージが正しいとすると、このvは電子のドリフト速度とは違うのではないかと思えるのです。電子のドリフト速度というのは、「電子の平均速度」だと思えます。一方この式に出てきているvは、「電子のトップスピード」であって、平均された速度はこれよりも遅くなるのではないかと思えるのです。この考え方のどこが矛盾していますでしょうか？よろしくお願いします。

回答No.2

eatern27 · ベストアンサー

>定性的には、τは"mean free time"(これは「電子のある衝突から次の衝突までの時間の平均」だと理解していますが)

はいそうです。

でも、ある時刻の速度(運動量)の平均値を決めるのは、「衝突と衝突の間隔の平均」ではなく、「前の衝突からの経過時間の平均」ですよね。今の場合は後者もτなんです。
※次の衝突までの時間は０とは限らないのに、「前の衝突からの経過時間の平均」がτになる事がおかしいと思うのであれば、例えば、http://oshiete1.goo.ne.jp/qa2792670.html の私の回答を参照して下さい。

>統計的にはτよりももっと長い時間衝突なしで加速する電子もかなりあるため、実効的な平均速度は私が当初考えていたものよりもずっと上がっている、というような理解でいいのでしょうか。

単に衝突間隔が長いものからの寄与があるから、というのではなく、衝突間隔が長いもの寄与(前の衝突からの経過時間への寄与)が大きいんです(大きいというのは、「衝突と衝突の間隔の平均」を考える時と比べてです)。参考URLで言う１の目のサイコロがすぐにサイコロを振り直すせいで、１の目が少なく６の目が多くなるのと同じ理由ですです。

>-q * E * τ = m * v
のvが平均速度である事は、「微少時間dtの間に電子が衝突により速度が０になる確率がdt/τである」という事を認めれば、次のように理解する事もできます。(最初から、こういう説明を書いた方がよかった気がしてきた...)

電子1個の運動方程式は、
mdv/dt = -qE -衝突の項
の形になっています。これを全ての電子について平均すると、
md<v>/dt = -qE - m<v>/τ
になります。<v>は平均速度です。衝突の項の平均がm<v>/τになる事は、次のような理由によります。
運動量の平均はm<v>で、微少時間dtの間にdt/τの割合の電子が速度を失いますから、dtの間に電子1個辺りm<v>dt/τの運動量が失われます。運動量の変化量は力積ですから、これをdtで割ったm<v>/τが実効的な「力」になるという訳です。

定常状態では、d<v>/dt=0であるはずですから、
-q E τ = m <v>
となります。

参考URL：

http://oshiete1.goo.ne.jp/qa2792670.html

お礼

eatern27さん、どうも重ね重ね説明ありがとうございました。まだ心の底からは理解できていないのですが、少し手がかりがつかめてきたという感じです。もう少し自分で時間をかけて考えてみます。

回答No.1

eatern27

直ぐに外出するので手短にいいますと、
全部の電子が一律にτの時間で衝突すると思っているのが原因です。実際にはそんな律儀な事にはなっておらず、衝突の間隔は、平均τのポアソン分布に従います。このあたりをきちんと考えると、
>-q * E * τ = m * v
のｖが、平均速度である事が分かります。

詳しくは、Drude model(ドゥルーデモデル)について調べるといいと思います。

お礼

なるほど、統計的な概念を導入する必要があったのですね。どうもご指摘ありがとうございました。
もしよければもう一点教えて下さい。(Drude modelは調べ始めたのですがまだよく理解していません。) 定性的には、τは"mean free time"(これは「電子のある衝突から次の衝突までの時間の平均」だと理解していますが)だけれども、統計的にはτよりももっと長い時間衝突なしで加速する電子もかなりあるため、実効的な平均速度は私が当初考えていたものよりもずっと上がっている、というような理解でいいのでしょうか。