平均運行間隔30分のバスの待ち時間は「最低15分」？

質問

最近読んだ本に次のような問題がありました。
解答と解説を読んでも、納得がいかない部分がありました。
どなたか納得のいく説明をしていただけないでしょうか。

出典は『なぜ数学が「得意な人」と「苦手な人」がいるのか』という本です。
P.306に出ている問題です。

---ここから---
問題：
運行間隔が平均30分のバス路線がある。あなたがバス停に着いてから、バスが来るまで何分待たされるだろう？時刻表は見ないものとする。
A.15分
B.最低15分、おそらくそれ以上
C.長くて15分
D.分らない

答え：
答えはB。「最低15分、おそらくそれ以上」である。理由は簡単で、もし運行間隔がきっかり30分だとしたら、待ち時間も平均15分になる。しかし運行間隔は長くなったり、短くなったりする。間隔が短いときより、長いときのほうが、バス停に到着する可能性が高い。
極端な例で考えてみよう。全部のバスが切れ目無くやってきたとしたら、間隔はおよそ1分で、1時間以内に48本全部が来る。それから翌日の始発まで23時間もあるから、悲しいかなあなたがバス停にやってくるタイミングは、バスが集中的に来た1時間より、残り23時間のうちのいつかになる可能性がはるかに高い。これは間隔時間の分布を考えるときに重要な見かたである。
---ここまで---

というものでした。
平均間隔が30分というのは30分ごとにバスが来ることは意味しないのは理解できます。
ですが、「最低15分」というのは、何故そう言えるのかがわからないです。

私が思った答えはは、最低0分、最長24時間(弱)というものです。
問題に「1日単位でのスケジュール」だと書かれていないので、最長24時間というのは怪しいですが、解説の文章からすると1日単位での運行という条件を補足して良いと考えました。

ひょっとすると書籍中の前後の文脈を読んで、「あなたが何分またされるか」ではなく「乗客の平均待ち時間は何分か？」ということを問いたいのかも？という気もするのですが、少なくとも上の問題文だけからは「正解がB」だとは言えないように思えるのです。

回答No.6

Ishiwara

＃５です。
> 単に「期待値を求めてください」という一文を追加すれば、問題文は良くなるでしょうか？
いいえ。

元の出題：
運行間隔が平均30分のバス路線がある。あなたがバス停に着いてから、バスが来るまで何分待たされるだろう？時刻表は見ないものとする。

常識では「平均運行間隔」を計算するときに、終バス～始発 の時間は考慮しませんが、ここでは「考慮する」つもりのようですから、出題者と解答者の間の誤解を避ける必要があります。

私の改良案：
毎日同じダイヤで、バスが１日に４８本通過する停留所がある。ここへランダムにやってくる乗客が待たされる時間の期待値は、次のどれか。
Ａ １５分
Ｂ １５分またはそれ以上
Ｃ １５分またはそれ以下

「Ｄ 分からない」は、選択肢から除きます。「分からない」の意味が分からないからです。
「兄弟の年齢の和は５０である。兄は何歳か」に対して「範囲なら分かる」けれども「一意の解がない」と言えます。もし、「兄の年齢は分からない」を正解とするなら、ＢやＣも同様に「分からない」に属し、選択肢間の矛盾が起きます。

さらに、翻訳書の場合には、原文で吟味しないと最終結論は出ないと思います。翻訳によって原作者の意図が微妙に変わることもあり得ますから。

回答No.5

Ishiwara

出題者の「意図」は、非常によく分かります。
次のどちらかです。
(1) あなたが出題文を正確に紹介していない。
(2) もし正確に紹介しているとしたら、出題文が良くない。

待ち時間の「期待値（平均値）」は？、と問えば、１５分以上１２時間以下です。この場合には、心理学の問題ではなく、純粋に数学の問題だと思います。ただ、事前確率の情報がなくてベイズの定理が適用できないので、解が一意となりません。

お礼

(1)である可能性が高そうです。(^^;
この問題は、巻末の問題集のような形で示されていたのですが、期待値に関する章で提示されていました。
問題文自体は別枠でくくられていて、それだけを示してもよかろうと思ったため、そのまま書きました。
当該の章まで含めて全て書くにはあまりにも文章が長くなりすぎ（で、投稿できない）なのと、その中から適切に著者の意図を抜き出せる能力がなかったためです。
（抜き出せていたら、そもそも納得がいかない、などということもなかっただろうと思うんですが）
で、枠組みの中の問題文だけを載せさせていただきました。（その後にヒントもあったのですが、それもまた長いので載せてません。すみません）
(2)「出題文が良くない」のかどうか私には分らないのですが、単に「期待値を求めてください」という一文を追加すれば、問題文は良くなるでしょうか。

回答No.4

Meowth

前回答補足要求は間違え
ついでに
著者は数学者でなく　心理学者というべきだろう
心理学的にはありえる回答である。
1分ごとにきているときにあたればラッキー
と思う程度だが　23時間またされたら
一生うらむからね。
おなじような話、公衆電話は使おうと思うといつもいっぱい。
つかわないときにはガラガラ
というのがある。
心理学的には正しい

補足

ありがとうございます。
確かに著者は心理学者（認知神経心理学？）で、本書も数学の本ではないんですが、この問題は巻末のおまけ（？）のようで、数学の問題みたいです。

回答No.3

koko_u_

その本は読んだことがないので前後関係は不明ですが、
質問欄の文だけを読むと、問題文やその解答が極めて不親切かつ言葉足らずであるように思われます。

素直に問題文を読めば、mixmarion さんが感じたように運行間隔がたとえ平均 30 分でも、
バス停に到着してすぐにバスがやって来ることもあるから「最低 15 分」はおかしいと思うのが普通です。
そしてそれで正しいと思います。

ANo.1 氏の言うように平均待ち時間が最低 15 分であることを言うにしても
様々な前提条件が抜け落ちているように思われます。
答えでイキナリ間隔時間の分布に言及しているので違和感ありまくりです。

数学は与えられた条件から何が言えるかを考えるのが基本なので、
問題文に書いていないことまで想定するなら、その旨明示しなければおかしいです。

お礼

ありがとうございます。
「違和感あり」との意見があって嬉しいです。
ただ、No.5様の指摘のように、私の問題文の紹介が悪かった可能性もありそうです。(^^;

回答No.2

Meowth

私が思った答えはは、最低0分、最長24時間(弱)というものです。
はただしい。
数学のできる人はそう考える。
できない人がかいた本は信用しなほうがいいという見本

回答No.1

age_momo

書いてある最低15分というのは実際の待ち時間のことでは
ありません。平均どれぐらい待つかということです。
そして文章に書いてあるとおり、きっかり30分後とに
バスが来るなら待ち時間は『平均』15分になります。
バスの到着にバラツキがあれば待ち時間は長くなります。
『平均』待ち時間が15分より短くなることはありません。
その意味の『(平均が)最低15分』です。