確率統計

質問

次の問題の考え方と答えを教えてください。

４個の製品のうち２個は不良品である。１個ずつ順番に抜き取って検査するとき
不良品を２個とも見つけ出すまでに抜き取って検査する製品の個数をxとする。
(1)xの確率分布を求めなさい
(2)xの平均、分散を求めなさい

５つの選択肢の内正解はひとつだけ含む問題を１０問解く。
５問以上正解する確率

回答No.1

jcpmutura

(1)
良品をo不良品をxとすると
不良品を2個とも見つけ出すまでに
抜き取って検査する製品の個数が2の場合は
xx
だからその確率は
P(X=2)=(2/4)(1/3)=1/6
抜き取って検査する製品の個数が3の場合は
oxx…(2/4)(2/3)(1/2)=1/6
xox…(2/4)(2/3)(1/2)=1/6
だからその確率は
P(X=3)=1/6+1/6=1/3
抜き取って検査する製品の個数が4の場合は
ooxx…(2/4)(1/3)=1/6
oxox…(2/4)(2/3)(1/2)=1/6
xoox…(2/4)(2/3)(1/2)=1/6
だからその確率は
P(X=4)=1/6+1/6+1/6=1/2
だから
Xの分布関数F(x)は
x≦2の時
F(x)=P(X<x)=P(X<2)=0
2<x≦3の時
F(x)=P(X<x)=P(X<3)=P(X=2)=1/6
3<x≦4の時
F(x)=P(X<x)=P(X<4)=P(X=2)+P(X=3)=1/6+1/3=1/2
4<xの時
F(x)=P(X<x)=P(X<5)=P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)=1/6+1/3+1/2=1

(2)
平均は
m
=Σ_{x=2～4}xP(X=x)
=2P(X=2)+3P(X=3)+4P(X=4)
=2(1/6)+3(1/3)+4(1/2)
=1/3+1+2
=3+1/3
=10/3

分散は
Σ_{x=2～4}(x-m)^2P(X=x)
=(2-m)^2P(X=2)+(3-m)^2P(X=3)+(4-m)^2P(X=4)
=(2-10/3)^2}/6+(3-10/3)^2/3+(4-10/3)^2/2
=(4/3)^2/6+(1/3)^2/3+(2/3)^2/2
=4^2/3^2/6+1/3^3+2^2/3^2/2
=8/27+1/27+2/9
=9/27+2/9
=5/9

(3)
5問以上正解する確率は
(1/5)^5…(第1～5問を正解する確率)
+5(4/5)(1/5)^5…(第1～5問中1問不正解で第6問を正解する確率)
+6C2(1/5)^5(4/5)^2…(第1～6問中2問不正解で第7問を正解する確率)
+7C3(1/5)^5(4/5)^3…(第1～7問中3問不正解で第8問を正解する確率)
+8C4(1/5)^5(4/5)^4…(第1～8問中4問不正解で第9問を正解する確率)
+9C5(1/5)^5(4/5)^5…(第1～9問中5問不正解で第10問を正解する確率)
=(1+5(4/5)+6C2(4/5)^2+7C3(4/5)^3+8C4(4/5)^4+9C5(4/5)^5)(1/5)^5
=(1+4+3*4^2/5+7*4^3/5^2+2*7*4^4/5^3+9*2*7(4/5)^5)(1/5)^5
=(5+48/5+448/25+3584/125+129024/3125)/3125
=(5*3125+48*625+448*125+3584*25+129024)/9765625
=(15625+30000+56000+89600+129024)/9765625
=320249/9765625
≒0.0327934976