微積の問題で

質問

y=f(x)が、2f(x)=∫(x-t)f'(t)dt+3x（積分範囲：０～ｘ）を満たすときのf(x)を求めたいのですが全く分かりません。分かる方がいたら教えてください。お願いします。

回答No.2

Mr_Holland · ベストアンサー

この問題は、積分方程式を解くものです。
　解法はいくつかありますが、最も簡単な第1種積分方程式の場合は、＃１さんが言われるように、次の2点を行うことです。
１）積分区間を0にするようなｘをとって、その値でのｆやｆ’などの値を得る。
２）両辺をｘで微分して、微分方程式に持ち込む。

　なお、２）の微分は1回でうまくいかない場合は、2回、3回と得られた微分方程式が簡単になるまで行っていきます。
　さて、この問題のケースですが、１）と２）で1回だけ微分すれば簡単な微分方程式が得られ、変数分離の方法で解くことができます。

１）積分区間を０にするようにｘ＝０を方程式に代入する。
　　2f(0)＝0　∴f(0)＝0　・・・・(A)
２）両辺をｘで微分する。
　このとき、定積分の微分は、被積分関数の(x-t)f'(t)を（tを定数と見て）xについて微分します。
　　2f'(x)＝[t=0→x]∫f'(t)dt＋3
　　　　　＝f(x)-f(0)+3　　・・・・・定積分を実行
　この式に式(A)のf(0)＝0を代入すると、
　　2f'(x)＝f(x)+3　　　・・・・・・(B)
３）式(B)の微分方程式を変数分離で解きます。
　y＝f(x)、dy/dx＝f'(x)であるから、式(B)を変形して、
　　2dy/dx＝y+3
　左辺にyとdyを、右辺にxとdxとを集めて変数分離形にすると、　
　　dy/(y+3)＝dx/2
　この両辺を積分して、
　　log|y+3|＝x/2+C、　　C:積分定数
　⇔y+3＝C'exp(x/2)、　　C':積分定数
　∴y＝C'exp(x/2)-3
　ここで、式(A)のf(0)＝0を入れると、
　　0＝C'-3
　∴C'=3
　これから、求める関数f(x)は次のようになることが分かります。
　　f(x)＝3{exp(x/2)-1}

お礼

こんなに丁寧にうって下さってありがとうございます！おかげで理解することができました！本当に助かりました

回答No.1

ryn

積分範囲の上限と下限をそろえる，
両辺を x で微分する，といった定石の操作で解けるので，
教科書等を参考にしながらがんばってみてください．

お礼

わざわざありがとうございます。参考にしてがんばってみます！