平行四辺形になるための条件

質問

数学の宿題が分からなくて困っています。助けてください。

Q 「四角形ABCDにおいて、AB＝CD, ∠A＝∠Cならばその四角形は必ず平行四辺形となる」 この文は正しいか。正しくないのであれば反証を示せ。 よろしくお願いします🙏

回答No.3

staratras

幾何的に考えてみました。

下の図の通り、四角形ABCDが平行四辺形ならば∠A=∠C　かつAB=CDが成り立ちます。しかしこの逆は必ずしも成り立たないことを示す反例が、下の四角形ABC'Dです。3点B,C,Dを通る円周上に、平行四辺形の頂点Cとは異なる点C'をAB=C'Dとなるように定めることが可能だからです。（赤い円はDを中心とし半径がCDの円）

このとき円周角の定理から∠A=∠Ç=∠C'　AB=C'D　ですが、四角形ABC'Dは平行四辺形にはなりません。

回答No.2

maskoto

計算ミスがありましたので訂正します

b＝√13と決めると
→x＝4cos60±√{4²(cos²60-1)+√13²}
＝2±√(-12+13)
x＝3、1
以下、先程の回答のBDの値を√13
に改めて読んでください

回答No.1

maskoto

必ずしも平行四辺形になるとは限りません

反例
実数a、b、xを用いて
三角形ABDの辺の長さを
AB＝a(定数)
BD＝b(定数)
AD＝xとおく
また、∠A＝θ(定数)とおく
余弦定理より
x²-2acosθx+a²-b²＝0
解の公式で解いて
x＝acosθ±√{a²(cos²θ-1)+b²}
xが正の異なる２つの実数解となるように
a、θ、bの値を決める
cosの値が分かりやすいので
θ＝60度
ついで、acos60が計算しやすいので
a＝4
としてみる
このときルートの中身が0より大きく、4未満であるようなbを決める
→b＝3
→x＝4cos60±√{4²(cos60-1)+3²}
＝2±√1
x＝3、1

このことから、三角形ABDの形状の例として
AB＝4
BD＝3
AD＝3
∠A＝60
と
AB＝4
BD＝3
AD＝1
∠A＝60
と言うものが考えられる
∠C＝∠A
AB＝CDだから
三角形BCDもこれらの値と同じ形状が考えられる
ゆえに、一例として
AB＝4
BD＝3
AD＝3
∠A＝60
で、かつ
DC＝4
(BD＝3)
BC＝1
∠C＝60
と言う平行四辺形でない四角形が存在する事がわかります