指数関数の一般化

質問

ａ^ｂで、ａがｅで、ｂが複素数の場合の定義は知っているのですが、
ａ^ｂで、ａもｂも複素数の場合の定義は？

回答No.3

proto · ベストアンサー

a,bを複素数として
　　a = exp(log(a))
(ただしexp(x) = e^x)
より
　　a^b = exp(log(a))^b = exp(b*log(a))

次にlog(a)について、aを極座標表示すると
　　絶対値 : |a|
　　偏角 : arg(a)
として
　　a = |a|{cos(arg(a)) + i*sin(arg(a))} = |a|*exp(i*arg(a))
より両辺の自然対数をとって
　　log(a) = log{|a|*exp(i*arg(a))} = log|a| + i*arg(a)

このとき
　　b*log(a) = (Re(b)+i*Im(b))*(log|a|+i*arg(a)) = x+i*y
なるx,yをとると
　　a^b = exp(b*log(a)) = exp(x+i*y)
　　　　= exp(x)*(cos(y)+i*sin(y))
となります。

省略して書きましたが偏角arg(z)は0≦θ＜2πであるθを用いて
　　arg(z) = θ + 2nπ 　　(nは整数)
とあらわされるのでarg(z)は無限多価関数となり
　　log(z) = log|z| + i*arg(z)
もまた無限多価関数となります。

ですので複素数の範囲で定義された冪関数a^bもまた一般的に多価関数になります。

お礼

ありがとうございました。

回答No.2

rinkun

一般的には
a^b = e^(b*log(a))
でaが複素数なら多価関数ですね。

お礼

ありがとうございました。

回答No.1

noname#101087

>ａ^ｂで、ａがｅで、ｂが複素数の場合の定義は知っているのですが、ａ^ｂで、ａもｂも複素数の場合の定義は？

まず「定義」の意味を....。
「複素数を実部と虚部に分けた表示」でOKでしょうか？
　　aがeで b=x+iy の場合なら、e^b=(e^x)*cos(y)+i(e^x)*sin(y)
という具合です。

問題は、a=r+is の場合ですね。
　　a=r+is=e^p と換算してから、それのb乗を求める
というのが一つの手です。勘定してみてください。

お礼

ありがとうございました。