確率の公理

質問

初歩的な質問ですみません。
確率空間（Ω、F、P）において
確率の公理を用いて任意のA，B∈Fに対して
　　　　　　　　　_
P(B)＝P(A∩B)＋P(A∩B)という問題を解いてます。
A∩B＝φ・・・(1)であればP(A∪B)＝P(A)＋P(B)ですよね。
_ _
ですからP(A∩B)＋P(A∩B)＝P{(A∩B)∪(A∩B)}＝・・・
のように展開したいのですが、(1)に相当するような条件がわかりません。
また、それを示す(証明？)にはどのようにしたらいいのでしょうか。長文で恐縮ですが、ご教授お願い致します。

回答No.2

noname#108554 · ベストアンサー

>A∩B＝φから(~A∩B)∩(A∩B)=φはどのように
>導かれるのでしょうか。

A∩B＝φからっていうか、(~A∩B)∩(A∩B)=φは常に成り立ちます。
(~A∩B)∩(A∩B)=~A∩B∩A∩B=~A∩A∩B=φ∩B=φ
より厳密に議論したければ、
xはAに含まれる かつ、xはBに含まれる かつ、xはBに含まれる
⇔
xはAに含まれる かつ、xはBに含まれる
などとやってくわけです。

お礼

回答ありがとうございます。
A∩B＝φから導くものと思っていました。
(~A∩B)∩(A∩B)=~A∩B∩A∩B=~A∩A∩B=φ∩B=φ
となるんですね。
わかりやすい説明でした。

回答No.1

noname#108554

>　　　　　　　　　_
>P(B)＝P(A∩B)＋P(A∩B)という問題を解いてます。

~を補集合と思って、
P(B)＝P(~A∩B)＋P(A∩B)
を示せ、ということですね？

>A∩B＝φ・・・(1)であればP(A∪B)＝P(A)＋P(B)ですよね。

これは一般論ですね？
こういうときは、A,Bとは別の記号を使いましょう。

で、本題。
(1)から導かれる条件は、
(~A∩B)∩(A∩B)=φ
になります。

お礼

回答ありがとうございます。
初歩的な質問ですみませんが、
A∩B＝φから(~A∩B)∩(A∩B)=φはどのように
導かれるのでしょうか。
何度も質問してスミマセン.