波動関数の一階微分の連続性

質問

はじめまして。
物理化学の課題なのですが、いろいろ調べたんですが
まったくわからなくて困っています。

シュレディンガー方程式は
d^2ψ/dx^2 + (2m/h^2)[E - V(x)]ψ(x) = 0
両辺をa-εからa+εまで積分すると、
dψ/dxl(x=a+ε) - dψ/dxl(x=a-ε) ＝ (2m/h^2)∫(a-εからa+εまで)[V(x)-E]ψ(x)dx
ここで、aはxの任意の値、εは無限小とする。
V(x)が連続ならばdψ/dxが連続であることを示せ。
次に、V(x)がx＝aで不連続であると仮定したとき、
dψ/dxl(x=a+ε) - dψ/dxl(x=a-ε) ＝ (2m/h^2)∫(a-εからa+εまで)[Vl+Vr-2E]ψ(x)ε
であることを証明せよ。
箱の中の粒子の問題のように、もしV(x)が無限大の不連続をもつならばどうなるか。

という問題です。
どなたか教えてください！お願いします。

回答No.1

masudaya · ベストアンサー

関数の連続の定義はご存知でしょうか.(数式はLatex調で書きます.)
lim_{x→a}f(x)=f(a)
となります.イメージで言うと,ｘがどのようにaに近づいても
f(x)は同じ値になる.ということです.(つまりグラフが切れていない=>連続)
今,dψ/dxの連続性を議論しているので,上の定義に当てはめると
[dψ/dxl]^{x=a+ε}_{x=a-ε} ＝ (2m/h^2)\int_{a-ε}^{a+ε}[V(x)-E]ψ(x)dx
の左辺はまさに連続性の判定項になります.ここでε→0とすると右辺の積分はaからaまでの積分となり,0となります.よってdψ/dxが連続というのだと思います.

後半の質問
>V(x)がx＝aで不連続であると仮定したとき、
>dψ/dxl(x=a+ε) - dψ/dxl(x=a-ε) ＝ (2m/h^2)∫(a-εからa+εまで)[Vl+Vr-2E]ψ(x)ε
のVl,Vrの定義が不明なので回答ができません.

補足

わかりやすく答えていただき、ありがとうございます。

後半のVl,Vrの定義ですが、
V(x)をx=aで左側と右側で分けて考えたときに、左側のV(x)はVl、右側のV(x)はVrの値をとっていて、x=aでV(x)は不連続。
という感じです。
うまく説明できなくてすいません。

回答No.2

masudaya

すみません,見るのが遅くて...
あんまり,自信ありませんが,つまり
V(r)= Vl(r<a), Vr(r>a)
というイメージでしょうか.
とすると2Eの意味がよくわかりません.
上記イメージが正しければ
dψ/dxl(x=a+ε) - dψ/dxl(x=a-ε) ＝ (2m/h^2)∫(a-εからa+εまで)[V(x)-E]ψ(x)dx
のままで2Eは出てこないと思います.
それではなんですので,
右辺は
(2m/h^2)\int_{a-ε}^{a+ε}[V(x)-E]ψ(x)dx=2m/h^2)\cdot(\int_{a-ε}^{a}[Vl-E]ψ(x)dx+\int_{a}^{a+ε}[Vr-E]dx)
となります.ここでε→0とするとやはり右辺が0となるように思えます.左辺が連続性の判定項なので,結局連続となります.
やや自信ないので,ご自身でご確認ください.