円柱モーメントと弾性エネルギー

質問

いつもお世話になっております。申し訳ありません。

針金をねじったときの弾性エネルギーを考えるという問題です。
下端をφねじった状態で必要なモーメントが、N(φ)=πna^4*φ/2Lのとき、
「さらにdφだけ回すにはdφ倍だけの仕事が必要である。
　これをφについて0からΦまで積分して…」
とありました。
なぜ「dφ倍」なのでしょうか。
例えばdφ/φ倍とかなら分かる気がするのですが…。

どうか御教授お願いいたします。

回答No.2

YHU00444 · ベストアンサー

高校生にも解る考え方。

一般に系の仕事（エネルギー）は、E=Int[0,R]F(x)*dxと書けます。
これを具体的に回転系で考えると、回転軸からの距離をrとして、N=r*F、x=r*φ。よってF=N/r,dx=r*dφ、R=r*Φとおけば範囲は[0,Φ]。
これを元の仕事の式に代入していけば、E=Int[0,Φ]N(φ)*dφとなるのは明らかでしょう。

お礼

＞R=r*Φとおけば範囲は[0,Φ]。　←この意味が分かりません。どういう意味ですか？そもそもRとは何ですか？

回答No.3

YHU00444

＞R=r*Φとおけば範囲は[0,Φ]。　←この意味が分かりません。どういう意味ですか？そもそもRとは何ですか？

Rは、とりあえずエネルギーを計算する時の終点としておいた長さです。
要するに素朴なエネルギーの式ではE=Int[(xの始点=0),(xの終点=R)]F(x)*dxと書けることを利用して、ねじり角度に対するエネルギーの式を計算してやったら形が同じになりますよ、ということを示しています。
※そもそも考えているのはφを0からΦまで動かしてやった時のxの動きですから、終点を合わせなければ意味がありませんよね。

で、大事なのは一般にモーメントというのは回転軸からの距離rと力Fの積で考えなければいけないのだけど、これがねじれφについてはx=r*φの関係があるので、ねじれのモーメントにはrが入ってこない。だからエネルギーについてもφのみで計算できるんですね。

お礼

わかりました。ありがとうございました。

回答No.1

YHU00444

要するにφを微小に変えたときN(φ)が変化しないと考えると、この微小回転に対する仕事はN(φ)dφと近似できる。そして、その精度はdφを十分小さくとることで（誤差を）取り除けるのでOKという話ですよね。

>なぜ「dφ倍」なのでしょうか。
モーメントと仕事の関係を考えましょう。（考え方は直線ばねのエネルギーと同じ）

お礼

>モーメントと仕事の関係 　よくわかりません。