弾性エネルギーの基本問題。回答お願いします！

質問

閲覧ありがとうございます。
以下の弾性エネルギーを求める問題が解けません。回答をお願いします。

最近習った式は、
　　　　We=1/2×kl^2
　　　　　　(k：ばね定数，l：自然状態からの伸び)です。

問題：断面が10mm×10mm、高さL=100mmの角柱の鉄鋼材に、応力P＝100Nを与える。
　　　　この時、弾性エネルギーWeを求めよ。ただし、E＝210N/(ｍｍ＾2)とする。

また、お手数かとは思いますが、回答の手順も載せていただければ幸いです。
よろしくお願いします！

回答No.2

spring135 · ベストアンサー

＞最近習った式は、
　　　　We=1/2×kl^2
　　　　　　(k：ばね定数，l：自然状態からの伸び)です。

問題：断面が10mm×10mm、高さL=100mmの角柱の鉄鋼材に、応力P＝100Nを与える。
　　　　この時、弾性エネルギーWeを求めよ。ただし、E＝210N/(ｍｍ＾2)とする。

この問題を解くにはばねの弾性エネルギーの話のほかに応力とひずみに関するフックの法則を理解している必要があります。ばねの話とフックの法則は根本は同じですが、細かい点をしっかり押さえておかないと正しい結果が得られません。フックの法則は以下の通りです。

引っ張り荷重によって材料の中に発生する弾性応力σと弾性ひずみεは以下の関係にあります。

σ=Eε

ここにEはヤング率、縦弾性率という、材料の強度を表す量です。単位は

　　σ：Pa、E：Pa、　ε：無次元です。

もう一つ大事なことは弾性ひずみによって材料中に発生する単位体積当たりのエネルギーuは

　　u=εσ/2=Eε^2/2

で与えられます。単位は

　　u=εσ/2：Pa=N/m^2=Nm/m^3=J/m^3

です。ばねの式と比較するとk→E、ｌ→εとなりますが

ばねの式ではWeの単位はJそのものなので注意が必要です。

弾性材料中に蓄えられる弾性エネルギーUは

　　U=uV

です。Vは材料の体積です。

さて材料の常識として鉄鋼のヤング率はE＝210kN/(ｍｍ＾2)=210*1000^3N/m^2=210GPa

です。質問者の記載したE＝210N/(ｍｍ＾2)においてはkが抜けていたとします。

また質問者の記載した応力P=100Nはあり得ません。正しくは荷重100N,または応力100N/m^2等です。

ここでは荷重F=100Nとしておきます。

以下数値計算です。

σ=F/S=100N/100mm^2=1MPa

ε=σ/E=1MPa/210GPa=4.76*10^(-6)

u=εσ/2=2.38J/m^3

U=uV=(2.38J/m^3)*(10mm×10mm*100mm)=(2.38J/m^3)*(10^(-5)m^3=2.38*10^(-5)J

お礼

投稿からかなり経ってしまい、大変申し訳ありません。

分かりにくい質問にもかかわらず、
丁寧な回答ありがとうございます。

大変参考になり増した。

回答No.1

foomufoomu

鋼材のヤング率 E=2.10*10^5 N/mm2 (のはず)
鋼材の縮み量 l=P*L/(E*A)=100*100/(210000*10*10)=4.76*10^(-4)
ばね係数　k=P/l = 100/4.76^10^(-4)=210000 N/mm2
あとはWeの式に当てはめるだけです。

お礼

投稿からかなり経ってしまい、大変申し訳ありません。

どうやら質問文がおかしかったようで、にも関わらず
丁寧な回答ありがとうございます。

大変参考になりました。