モーメントの問題

質問

高校物理、モーメントの問題です。

(a)は問題なく、
板ABと板CDについて力とモーメントのつり合いの式をたて
モーメントの式からPとRを求めると
P=(l+y)W/2l, Q=(l^2-3lx-yx)W/2l(l-x)
となりました。
（モーメントの中心は、それぞれ足E,Fとしました。）

わからないのが(b)です。
解答には
『つりあいが破れずに移動する条件：Q=０とならなければよい。
→y=lでもQ>0ならよい。』
とあり、これを解いてx＜l/4となっています。

私はこの解答を見る前、つりあいがやぶれないのだからモーメントの式が成り立てばよいのだと思い、(a)で立てた板CDのモーメントの式がy=lでもなりたてばよい、と思いました。
これを解くと、x=l/4となります。

感覚的(?)に、xの条件が、「x<○」という形になるだろうと思うので、x<l/4になるのもなんとなくわかるのですが、、「x=l/4」は含まれないのでしょうか。

y=lでx<l/4だと、板CDのモーメントの式がつりあわないことになります。
y=lでx=l/4だと、Q=0かつP=Wとなりモーメントの式は成り立ちます。でもQ=0・・？

正確にいうと、y=lのときは小球の重さW/2が板CDにもかかってきて、モーメントの式が変わりますよね・・？だからy=lのときモーメントの式が成り立たなくてもいいということでしょうか。でもそうなると、y=lのときはQ=(l^2-3lx-yx)W/2l(l-x)という式自体も変わってきてしまうんじゃないでしょうか。

正直「2枚の板の上をつりあいを破らないで移動する」という表現もそもそも少し曖昧で、最初は小球の位置で場合分けが必要なのかな？とも思いましたが、y=lの境界だけ考えれば良さそうだということでやや無理矢理納得させました。

解答のようにQ>0ならよい、というのはわかります。でも、x=l/4が答えに含まれるのか含まれないのかが、わかりません。含まれないなら、なぜなのか。（モーメントの式が成り立っているのに。）
つりあいの問題を考えるときは、モーメントの式だけでなく、この問題のように「足から受ける抗力が正の値として存在する」という条件も考えなければいけないのでしょうか。

質問が簡潔でなく申し訳ございませんが、混乱してしまい、困っています。
ご教授いただけますと幸いです。
よろしくお願いいたします。

回答No.4

hitokotonusi · ベストアンサー

＞Q>0を使わなくても、モーメントの式だけで解けるでしょうか？

この条件は必要です。

ANo.2ではANo.1のお礼の意味が読み取れませんでした。
普通はモーメントの式以外といえば力のつりあい(この場合は重力と垂直抗力の釣り合い)の式を指すので。

お礼

ご返答ありがとうございます。
Q>0を使えばそれだけで答えがでますよね。

板CDのモーメントの式にy=lを入れると0=0になってしまうというより、
そもそも(a)でモーメントの式が成り立つようにP,Qをそれぞれ求めているので
yの値によらずこの式は0=0になって当然でした(--;)

「y=lでもQ>0がなりたつ」をとけばいいんだということで今は自然と納得出来る気がします。
（納得するようにします）
何度もご返答くださり、どうもありがとうございました。

回答No.3

htms42

「＝」の方は意味を持たないと思いますので「＞」の方がいいのではないでしょうか。

支点Ｅと板の端Ａとは距離０で接触しているとなっていますね。支点Ｇでも同様です。
２枚の板の端が重なっているとしていながら重なりの長さは０になっています。
この状態では　＞ｌ／４か、≧ｌ／４かを数学的に区別することは意味を持たなくなっています。

理想的に０であるか否かを問題にする必要はありません。

お礼

いつもご回答ありがとうございます
お礼が大幅に遅くなってしまい申し訳ありません。
1ヶ月ほど受験勉強が出来ない状態ですっかり置き去りになってしまいました(>_<)
この返答に気づいていただけないかもしれませんが・・・

まだこの問題が解決できていません。
やはりモーメントの式にy=lを代入すると、0=0となってしまいます。

====================
板CDのモーメント
x*P+Q*(l-x)-W*(l/2-x)=0
これに(a)で求めたP,Qの式とy=lを代入すると

まず全項でWが共通なので消えて
1項目は2l/2lとなり+xだけとなり
2項目は(l-x)が分母分子にあるので消えて+(l^2-4lx)/2lとなり
3項目が-(l/2-x)となり
0=0
====================

見にくくて申し訳ありません。
どこか間違っていますでしょうか？
Q>0を使わなくても、モーメントの式だけで解けるでしょうか？

<追伸>
＞ｌ／４か、≧ｌ／４かを議論することが不要であること承知いたしました。ありがとうございます。

回答No.2

hitokotonusi

＞正確にはy<=l/4ということでいいでしょうか。

はい。いいです。

＞モーメントの式にy=0を入れてもy=lを入れても、0=0となり、

もう一度どこかで間違えているのでは？モーメントだけで解けますよ。
というか、質問文で正しい答えが出てます。

お礼

ご回答ありがとうございました。
お礼が大幅に遅くなってしまい申し訳ありません。
1ヶ月ほど受験勉強が出来ない状態ですっかり置き去りになってしまいました(>_<)
この返答に気づいていただけないかもしれませんが・・・

まだこの問題が解決できていません。
やはりモーメントの式にy=lを代入すると、0=0となってしまいます。

====================
板CDのモーメント
x*P+Q*(l-x)-W*(l/2-x)=0
これに(a)で求めたP,Qの式とy=lを代入すると

まず全項でWが共通なので消えて
1項目は2l/2lとなり+xだけとなり
2項目は(l-x)が分母分子にあるので消えて+(l^2-4lx)/2lとなり
3項目が-(l/2-x)となり
0=0
====================

見にくくて申し訳ありません。
どこか間違っていますでしょうか？
Q>0を使わなくても、モーメントの式だけで解けるでしょうか？

回答No.1

hitokotonusi

質問者さんがいわれる通りと思います。Q=0まではつり合いは保たれます。
Q=0になる条件は、支点Gを取り去った時のつり合いの条件と同じですから。
正しくは『つりあいが破れずに移動する条件：Q＜０とならなければよい。』ですね。

＞正確にいうと、y=lのときは小球の重さW/2が板CDにもかかってきて、モーメントの式が変わりますよね・・？

違います。
小球が接しているのは板ABだけですから、小球が力を及ぼすのは板ABだけです。
なので、モーメントの式は変りません。

お礼

ご回答ありがとうございます。
そうですね、y=lのときは板CDに小球の重さはかからないですね。。
正確にはy<=l/4ということでいいでしょうか。

そしてごめんなさい、たったいま計算ミスしていたことに気づきました。
モーメントの式にy=0を入れてもy=lを入れても、0=0となり、
xの条件式を導くことはできないですね(>_<)
結局、Q<0とならなければよい、という視点で計算しなければならないのですね。

つりあいを破らない条件は？と言われるとモーメントの式から導けばいいという認識でいましたが、
この問題のように、それでは解けないときもあるんですね。
力のつりあいの式も、S+Q=P+WでSがわからないし。。

すこしモヤモヤします。。