証明・・・？

質問

六方晶の面を表す時にミラー指数でお馴染みの(hklm)について
どうもh + k = iという関係が成り立つみたいです。
ミラー指数については分かるのですが、何故この式が成り立つのか
イマイチ腑に落ちない所があります。
どなたか教えて頂けませんか？

回答No.1

kenojisan · ベストアンサー

六方晶を４つの指数で表現するのは、旧式の方法ですね。関係式は、実際にはh+k=-lです。
ミラー指数は理解出来ているということなので、ベクトル表現を考えてみてください。六方晶の場合には、結晶の原点を始点とした、c-面内にある単位ベクトルa1,a2,a3とc軸方向の単位ベクトルc1を使って、(hklm)面は、a1/h、a2/k、a3/l、c1/mのベクトルの先を含む面になりますよね。
しかし、高校の数学で習ったとおり、面内の位置を表すのに必要な単位ベクトルは２個で済むはずです。そう、実は六方晶の場合には、単位ベクトルの間にa1+a2=-a3の関係が有ります。実際の結晶では、たいていこの３つのベクトルが同じ大きさで120度間隔で開いているので、等価なベクトルとして３つの指数を付けた方が分かりやすかったのでしょうね。
従って、c面内における結晶面の切片＝直線上には、a1/h,a2/k,-a3/lの３つのベクトルの先が並ぶことになりますので、ベクトルに関する連立方程式
a1/h-a2/k=x(a3/l-a1/h)
a1+a2=-a3
を解けば、ご希望の関係式が得られるはずですよ。

お礼

ご丁寧に教えて頂いてありがとうございました。
大分、参考になりました。