ベクトルの外積 軸性ベクトルについて

質問

私は理系の大学に通っている３回生です。
いま連続体力学という授業のなかで、ベクトルを勉強しています。
授業のなかで
ベクトルの外積Ａ×Ｂは軸性ベクトルであることを証明せよ。
という証明問題がでたのですが、どうしてもわかりません。

どなたかわかる方
解説お願いします。

回答No.2

noname#221368 · ベストアンサー

極性ベクトル（普通のベクトル）と軸性ベクトル（擬ベクトル）の説明って、ちゃんとされないと思うんですよね。しかもそれに数学の線形代数のベクトルの（線形空間の）定義が重なって、余計わけわかんなくなる・・・。

　まず#1さんの方法は、最も簡単なものです。

次に・・・、次に出す言葉でびびらないで下さいね。

　　・軸性ベクトルとは、2階の反対称テンソルの省略記法です．

　2階のテンソルとは、添え字の足2つという事で、たんなる行列です。反対称なんだから、2階の反対称テンソルとは反対称行列の事です。

　3次元の場合の反対称行列を考えると、対角成分全部0に固定で、独立な成分は、非対角成分の上半分か、下半分の3個です。
　独立成分3個である事を強調して、「3個で3次元だから、ベクトル形式で表すと便利だよなぁ～」という事で、軸性ベクトルが導入されます。
　この反対称行列Ｒは、回転行列をＡ(θ)，単位行列をＥ，（極性）ベクトルをx、回転によるベクトル移動をδxとして、

　δx＝(Ａ(θ)－Ｅ)x

を考え、θ→0の1次の項だけ考慮して、Ｒ＝Ａ(θ)－Ｅで定義されるので、結局回転移動を表しています。ここらあたりは、ゴールドスタインの古典力学に、明快な説明があります。

　極性ベクトルxと軸性ベクトルrの違いは、ベクトルと行列の変換性の違いです。Ｓを基底変換行列とすれば、ベクトルと行列はそれぞれ、

　x'＝Ｓx
　Ｒ'＝Ｓ^(-1)ＲＳ（≠Ｓr）

という変換を受けるので、「違うにきまってるじゃないか！」となります（Ｓが直交変換の時は、＝Ｓrになりますが）。
　特にＳを座標反転だとすれば、x'にはＳのー符号が作用して反転しますが、Ｓ^(-1)ＲＳだと(－)×(－)＝＋1で反転しない事になります。

　さらに事情を悪くしているのが、線形代数におけるベクトルの定義です。軸性ベクトル全体を集めて集合Ｖ'をつくると、なんとＶ'はベクトル空間の公理を全て満たして、ベクトル空間になってしまうんですよね。なので線形代数の立場では、軸性ベクトルもベクトルです。

　「ベクトルの外積Ａ×Ｂは軸性ベクトルであることを証明せよ」で本質的に問われている事は、以下です。

　極性ベクトルのベクトル空間Ｖを考えたとき、それを土台にして定義された軸性ベクトルのベクトル空間Ｖ'は、果たして、もとのＶと同じものか？

です。

お礼

とても詳しい解説ありがとうございます。
確かに、軸性ベクトルってなに？って思ってました。
軸性ベクトル理解してから、証明問題を解いてみたいと思います。
ありがとうございます。

回答No.1

yokkun831

軸性ベクトルの意味は，
「座標系の反転のもとで符号を変えない」
ということですので，ベクトルA,Bの成分の符号をすべて
反転させたときに，成分による外積の結果が反転させる
前のものと同じであることを示せばよいのではないで
しょうか？

お礼

わかりやすい解説ありがとうございます！！
言われた方法で考えてみます。