休憩のローテーション表

質問

勤務先に、9人の従業員がいます。
以下の条件で全通りのローテーションを作りたいのです。

１、休憩は3人ずつ３組（早・遅・フリー）に分かれて取る

２、休憩時間は早（12-13時）・遅（13-14時）・フリー（好きな時間）の３種類ある

３、毎日違う人と組む（３人中２人のダブりは認める）

４、（a.b.c）と(c.b.a)は同じ組み合わせなので１通りとする

以上全パターンで、これをうまい具合に表にしたいのです。

分かりづらいかもしれませんが、宜しくお願い致します。

回答No.3

stomachman · ベストアンサー

No.2への補足についてです。

「条件(3): 一巡するまでダブりは認めない」ってのは厳し過ぎる条件です。

　１日目に早番になった人に番号1,2,3を付けます。条件(3)に従えば、これで1さんは2,3とは二度と同じ組になってはいけない。翌日からはこの三人はいつも別々の組に分かれなくてはなりません。
　ということは、1,2,3のうちの誰か一人は２日目にも早番になるしかありません。
　従って、周期3のローテーションでは条件(1)を満たす事はできない。なので周期は最低でも6（K=2。誰もが早番、遅番、フリーを2回ずつ）ということになります。
　ところが、一巡するまでダブりは認めないような組み分けの仕方を6回続けたとすると、1さんは6×2=12人の異なる人と組になる必要がある。しかし、1さん以外には8人しか居ないのだから、これは無理です。

　従って、条件(1)と(3)を共に満たすような解はありません。条件(3)を緩めるか、条件(1)を緩めるかしないと、ローテーションは作れない訳です。

～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～

　ついでに補足説明します。回答No.2で

>> 9人を早番、遅番、フリーの3組に分けるやりかたは、9!/((3!)^3)=1680通りある。

と言うのは、条件(1)(2)だけを課した場合の話です。9人の中から早番3人を選ぶやり方が 9C3 = 9!/((3!)(6!))通りある。そのそれぞれの選び方について、残った6人の中から遅番3人を選ぶやり方が、6C3 = 6!/((3!)(3!)) 通りあるんで、
( 9!/((3!)(6!)) )×( 6!/((3!)(3!)) ) = 9!/((3!)^3) = 1680
ってことです。1680通りある組み合わせを全部１回ずつやれば、不公平は生じようがありません。ただし、1680通りをどんな順番でやるかは自由ですから、条件(2)に合うように並べればいい、という話でした。

お礼

ありがとうございます！
もう少し考えてみることにします！

回答No.2

stomachman

9人を早番、遅番、フリーの3組に分けるやりかたは、9!/((3!)^3)=1680通りある。これを、同じ組み分けが二日連続しないように並べれば（これは簡単だろうと思います）、確実に全員が同じ回数だけ「早番、遅番、フリーに当たるし、他の2人のあらゆる組み合わせと当たる」が保証できる。
　ですが、１６８０回周期でローテーションするんじゃ気が長過ぎるんではないか。

　そこで、
(1)どの人も３種類の休憩（早・遅・フリー）に丁度K回当たる。(Kは一定）
(2)二日続けて同じ3人組が生じない。
を満たす最も短い周期のローテーションを求む、という問題だと考えてみると、従業員に番号1～9を付けて

早(1,2,3)遅(4,5,6)フ(7,8,9)
早(6,7,8)遅(1,2,9)フ(3,4,5)
早(4,5,9)遅(3,7,8)フ(1,2,6)

は一つの解になっています。周期３日というのは、(1)の条件を満たす最短の周期である。1,2、4,5、7,8はいつも一緒ですけど(2)は満たしている。

　という極端な二つの解を出してみました。つまり、ご質問の条件はかなり緩やかで、いろんな可能性があります。現実の問題についてのご質問だとすると、他にも付けたい条件があるんじゃないでしょうか。

補足

stomachmanさんこんにちは。
実は私は数学が苦手です。
ふむふむと、感動しながらも、理解することはできませんでした。汗

では条件を絞り、
３、毎日違う人と組む（一巡するまでダブりは認めない）という条件だと、かなり絞れそうですか？

どうも、順番に組み合わせていく手段しか思いつきませんが。。

回答No.1

mmk2000

ちょっとパズルチックで面白そうですね。

考えてみたのですが質問があります。

＞４、（a.b.c）と(c.b.a)は同じ組み合わせなので１通りとする

休憩する時間がばらばらであれば、この組み合わせは待ったく別のものだと思うのですが、これはなぜ同じ組み合わせになるのでしょうか？

よろしくお願いいたします。

補足

mmkさん、ありがとうございます。
言葉が足りずすみません。

早（a.b.c）遅（d.e.f）フリー（g.h.i）から順番にやっていくと、
早（c.b.a）遅（d.e.f）フリー（g.h.i）というのが出てくると思いますが、
組の中身をわけたいので、順番違いは同じパターンとしたいのです。