負の階乗 (-1/2)! =√π

質問

学校で(-1/2)! =√πこの式が

なぜイコールなのか証明しなさい。

なぜこの数式が数学の計算に役に立つのか？

と言う問題がでました。さっぱりわからないので誰か教えてください。ヒントでもいいです。

回答No.2

totoro7683

まず第一に考えることは(-1/2)! が何を意味するかです。
階乗は自然数に対して定義される概念ですが、
階乗のの拡張にガンマ関数というものがあります。ガンマ関数とは
Γ(s)=∫(0→∞)e^(-x)x^(s-1)dt (s>0)
で定義される関数で
Γ(n+1)=n!となります。階乗を自然数以外にも拡張するとx!とはΓ(x+1)を意味し、負の整数以外の実数に対して定義されます。
（-1/2)!=Γ(-1/2+1)=Γ(1/2)のことです。
Γ(1/2）=√πの証明は結構複雑です。
一つの方法として、
Γ(1/2)=∫(-∞→∞)e^(-y^2)dyであることをしめす。
Γ(1/2)^2=∫_(R^2)e^(-x^2-y^2)dxdy
であるから上の積分を極座標に変換して計算するという方法があります。

お礼

大変ありがとうございました。
事情があってインターナショナルスクールで勉強をしているのでとてもたすかりました。
日本語のWEBでも意味がわからなかったのに英語になるとさらにわかりませんでした。
大変参考になりました。

回答No.1

saaya_holic

ヒント:ルジャンドル関数
自然数でなくてもn!/(n-1)!=n
を用いて(n-1)!を消去すればn!が定義できること。

補足

ルジャンドル関数と言うのをサーチして色々みてみましたが頭が悪いのでしっくりきませんでした。
どうして
(-1/2)! = √πがその式で定義できるのかもわかりません、もうちょっと詳しく教えていただけますか？