解法のヒントを・・・

質問

数学でこのような問題がだされました。
答えはありません。

√zを求めよ。
z=3-2√-1・・・(1)
z=-7-24√-1・・・(2)
（-1はルートのなか）

この二式を使って、√zをだすようなのですが・・・。
今のところ、有力な答えは±√43/11（11もルートの中）
(1)×12-(2)
でzイコールに直してそうなったのですが・・・。
この解法はあってるんでしょうか！？
根本的に間違ってますか？

どうか解法のヒントをお願いします。

回答No.1

proto

根本的に考え方違ってるように思います。
虚数や複素数は習っていないんですかね？説明しづらいですが。

話をもう少し単純にすると、今のままじゃ
　　x=9
　　x=16
から√xを求めなさい。と言っているようなものですよ？
そもそも9でもあり16でもあるxなんて存在するわけがないです。
連立方程式だとしても解けません。

でも、二つを別々の問題と見て
x=9より√x=3。
x=16より√x=4。
という風に別々に解くことなら出来ます。
おそらく別々の2問なんじゃないかな？

はい、本題に戻って解法ですが、このようにzが
　　z = x+y√(-1)
の形をしているとき、実は√zも
　　√z = a+b√(-1)
の形になります。
ここで両辺を2乗してみましょう
　(a+b√(-1))^2 = (a^2-b^2)+2ab√(-1) = (√z)^2 = z = 3-2√(-1)
このようになります。
((√(-1))^2=-1に注意して(x+y)^2=x^2+2xy+y^2の公式で展開してください)

次に(a^2-b^2)+2ab√(-1) = 3-2√(-1)より
　　a^2-b^2 = 3
　　2ab = -2
となります。この連立方程式は普通に解けますよね。
a,bが求まったら、元の
　　√z = a+b√(-1)
に代入して答えです。

でも、これあんまり綺麗な答えが出てこないんですよねー、やっぱり出題自体が不自然だなぁ。
複素数習ってないとしたら、いきなり解かせるような問題じゃないっすよこれ。

お礼

やっぱり変でしたか・・・

回答ありがとうございます。
質問前に私もいろいろ考えて回答者さんのやりかたもしてみたんですが、（２）はキレイ（3-4iかな？）になるんですけど、（１）がどうもぐちゃぐちゃ・・・。
なので、他にやり方があるに違いないと思って、先輩に聞いたのが、上記のやり方なんですね・・・・。

＞話をもう少し単純にすると、今のままじゃ
　　x=9
　　x=16
から√xを求めなさい。と言っているようなものですよ？

確かに気付いてました。
二式を足してz求めるにせよ、それじゃただの平均じゃん、と思って、先輩のやり方もすっごい疑問で、ここに質問しにきました。

「このやり方は間違ってる」という強い確信が抱けなかったのは私のミスです。恥ずかしい投稿をしてしまいました＠＠

protoさんのおかげで目がすっきりです！
先輩がどーのこーのという前に、おかしいのはおかしいと思うべきなんですね；
本当にありがとうございます！！
あ、ちなみに複素数はやってます＾＾