階乗の計算

質問

問題の途中で以下のような式変形があったのですが、どうしても理解できません。

( n / ( m + 1 ) ) * ( n - 1 / ( m + 2 ) ) * ・・・ * ( 1 / ( m + n ) ) = ( m ! * n ! ) / ( ( m + n ) ! )

なぜこのようになるのでしょうか？これは階乗計算にはよくある式変形なのでしょうか？また他にも階乗に関する重要な式変形があったら教えてください。よろしくお願いします。

回答No.3

info22

階乗
n!＝1・2・3・4・ … ・(n-1)・n
　＝Π[k=1,n} k
この「Π[k=1,n} k 」を乗積（総積、総乗ともいう）と言います。
Π[k=1,n} k
乗積の記号　「Π」　はπの大文字でパイと読む。
k=1～nまで増やした時の全てのkの積を表します。その積は「n!」なります。
詳細は次のURLをご覧下さい。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9A%8E%E4%B9%97
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B7%8F%E4%B9%97
http://www.ikuta.jwu.ac.jp/~yokamoto/ccc/math/sgmpi/

この乗積の記号を使えば

(n/(m+1))*((n-1)/(m+2))* … *(1/(n+n))
＝(Π[k=1,n] k)/(Π[h=m+1,m+n] h)

分子と分母に
(Π[h=1,m] h)＝m!
を掛けると

分子＝(Π[h=1,m] h)*(Π[k=1,n] k)＝(m!)*(n!)

分母＝(Π[h=1,m] h)*(Π[h=m+1,m+n] h)＝(Π[h=1,m+n] h)＝(m+n)!

したがって

与式＝(分子)/(分母)＝(m!)*(n!)/(m+n)!

が得られます。

回答No.2

sanori

こんばんは。

＞＞＞なぜこのようになるのでしょうか？

分子どうしの掛け算だけ見れば、
分子　＝　ｎ×（ｎ－１）×（ｎ－２）×・・・・・×２×１　＝　ｎ！

今度は、分母同士の掛け算だけ見れば、
分母　＝　（ｍ＋１）×（ｍ＋２）×（ｍ＋３）×・・・・・×（ｍ＋ｎ）
両辺に、ｍ！　＝　１×２×３×・・・・・×（ｍ－１）×ｍ
をかけると、
ｍ！×分母　＝　１×２×３×・・・×（ｍ＋１）×（ｍ＋２）×（ｍ＋３）×・・・・・×（ｍ＋ｎ）
　＝　（ｍ＋ｎ）！

となるので、
分母　＝　（ｍ＋ｎ）！／ｍ！

よって、
与式　＝　分子／分母　＝　ｎ！／（（ｍ＋ｎ）！／ｍ！）
　＝　ｍ！・ｎ！／（ｍ＋ｎ）！

＞＞＞これは階乗計算にはよくある式変形なのでしょうか？

そのものズバリではありませんが、よくあるタイプではあります。

＞＞＞また他にも階乗に関する重要な式変形があったら教えてください。

場合の数・確率のところで習う、順列や組み合わせの数の公式の導出が重要な例です。

以上、ご参考になりましたら。

回答No.1

ushioni

( n / ( m + 1 ) ) * ( n - 1 / ( m + 2 ) ) * ・・・ * ( 1 / ( m + n ) )
=n!/((m+n)!*(1/m!))
=m!n!/(m+n)!