連立方程式

質問

昔は解けたはずなのに、すっかり忘れてしまいました。
どうか、下記の連立方程式について教えて下さい。

I1=I2+I3 ・・・(1)
V=E1-R1・I1 ・・・(2)
E3=V-R2・I2 ・・・(3)
E2=V-R3・I3 ・・・(4)

上記の式から、未知数Vを求めて、
代入してI1、I2、I3を求めたいのですが。
未知数はVとI1、I2、I3で、
R1、R2、R3、とE1、E2、E3は定数です。

どうかよろしくお願いいたします。

回答No.1

F0ur1er · ベストアンサー

御参考程度にお答えします。
まず、（３）、（４）から

I2=(V - E3)/R2
I3=(V - E2)/R3
このとき、R2,R3は0でない定数とします。

次に（１）から、I1が求められます。
以上から（２）に、I1を代入すればVがもとめられます。

お礼

解答ありがとうございました。
すぐにお答えいただき、助かりました。

回答No.4

sokamone

暇なのでチャレンジ！

I1=I2+I3 ・・・(1)
V=E1-R1・I1 ・・・(2)
E3=V-R2・I2 ・・・(3)
E2=V-R3・I3 ・・・(4)

I1=I2+I3 ・・・(1)
V=E1-R1・I1 ・・・(2)
V=E3+R2・I2 ・・・(3)
V=E2+R3・I3 ・・・(4)

(1)→(2)
V=E1-R1・(I2+I3) ・・・(2)'
V=E3+R2・I2 ・・・(3)
V=E2+R3・I3 ・・・(4)

(2)',(3)からVを消去
(R1+R2)I2+R1・I3=E1-E3・・・(5)

(3),(4)からVを消去
R2・I2-R3・I3=E2-E3・・・(6)

R3x(5)+R1x(6) によりI3を消去
(R3(R1+R2)+R1・R2)I2=R3(E1-E3)+R1(E2-E3)
=R3・E1+R1・E2-(R1+R3)E3

よって、
I2=(R3・E1+R1・E2-(R1+R3)E3)/(R1・R2+R2・R3+R3・R1)
・・・(7)

R2x(5)-(R1+R2)x(6)によりI2を消去
(R1・R2+(R1+R2)R3)I3=R2(E1-E3)-(R1+R2)(E2-E3)
(R1・R2+R2・R3+R3・R1)I3=R2・E1-(R1+R2)E2+R1・E3

よって、
I3=(R2・E1-(R1+R2)E2+R1・E3)/(R1・R2+R2・R3+R3・R1)
・・・(8)

(1)に(7)(8)を代入して、
I1=((R2+R3)E1-R2・E2-R3・E3)/(R1・R2+R2・R3+R3・R1)
・・・(9)

(9)を(2)に代入して、
V=E1-R1((R2+R3)E1-R2・E2-R3・E3)/(R1・R2+R2・R3+R3・R1)
=((R2・R3)E1+(R1・R2)E2+(R3・R1)E3)/(R1・R2+R2・R3+R3・R1)
・・・(10)

あってるかなあ＾＾。念のため行列でやってみよう！

「 0 1 -1 -1 |「v | 「 0 |
|-1-R1 0 0 ||I1| |-E1|
| 1 0 -R2 0 ||I2| =| E3|
| 1 0 0 -R3 」|I3」 | E2」

左辺の4×4の行列の逆行列を掃き出し法で求める。
そして求めた逆行列を右辺のベクトルに左側から掛ける。
というふうにやるんですが、すっごく大変＾＾。
やっぱり、上のようにふつうに消去法でやったほうがいいですね＾＾；。

お礼

解答ありがとうございました。
逆行列での解き方、確かに大変です。
ご指摘のとおり、消去法の方が簡単でした。

回答No.3

unyo12

Ｉをx、Ｖをy、Ｅをa、Ｒをbと置き換えます（^ ^；私が見やすいから

x1=x2+x3 ・・・(1)
y=a1-b1・x1 ・・・(2)
a3=y-b2・x2 ・・・(3)
a2=y-b3・x3 ・・・(4)

さて、（２）～（４）を変形すると
x1＝(a1-y)/b1・・・(2)’
x2＝(y-a3)/b2・・・(3)’
x3＝(y-a2)/b3・・・(4)’

ですね。これらを(1)に代入すれば、
(a1-y)/b1＝(y-a3)/b2＋(y-a2)/b3です。

この等式の両辺にb1b2b3をかけて
(b2b3)a1-(b2b3)y＝(b1b3)y-(b1b3)a3+(b1b2)y-(b1b2)a2

b2b3a1+b1b3a3+b1b2a2＝(b2b3+b1b3+b1b2)y
∴y＝(b2b3a1+b1b3a3+b1b2a2)／(b2b3+b1b3+b1b2)
あとはこれを(2)’～(4)'に代入して

x1＝(a1-y)/b1＝(a1b1b3+a1b1b2-b1b3a3-b1b2a2)／(b1b2b3+b1^2b3+b1^2b2)・・・(2)’

・・・・・・

という感じでx2、x3についても計算し、最後にＩをx、Ｖをy、Ｅをa、Ｒをbと置き換えたのを元に戻して完成です。

お礼

色々な解答があって、驚きです。
解答ありがとうございました。

回答No.2

tnt

このままで解くと、かなりややっこしい
式になります。

たぶん、キルヒホッフの法則を式にした物だと
思いますが、基準点を変えるなどして
式の立て方を変えることをお勧めします。

お礼

解答ありがとうございました。
ご指摘のとおり、電気回路の問題です。