2種類の面を転がるボール（高１）

質問

友達が、次の二つのコースは、(2)のコースの方が速いと言っていました。
初速度は(1)のボールも(2)のボールも同じで、
水平距離も同じです。

(1)のコース

　→　　　　　　　　　ゴール
　○　　　　　　　　　
　￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣

(2)のコース

　→　　　　　　　　　ゴール
　○
　￣￣＼＿＿＿＿／￣￣

(2)のコースの方が、速度は速く
なるけど、走る距離が長くなりますよね？
ということは、
斜面の長さとか、角度とか、
低い部分の距離によって、
(1)のコースが速くなったり、
(2)のコースが速くなったり、
同時にゴールしたりすると思うんだけど。。

回答No.15

ojisan7 · ベストアンサー

＃９です。レールに束縛された運動を考えていました。拘束力が垂直抗力と重力だけなら、折れ曲がった箇所で浮き上がってしまうからです。斜面の勾配がきつくなると、折れ曲がった箇所で浮き上がり、放物運動をして、ある箇所で斜面に衝突します。跳ね返りがないものとすれば、玉は斜面を転がっていくでしょう。坂が短い場合には、放物運動した玉は斜面に接することもなく、直接、水平な底面に衝突するでしょう。浮き上がらないためには、折れ曲がった箇所の曲がり具合や、初速度等に制限を与える必要がありますが、それは、高校生レベルを超えます。単純に、浮き上がりを防ぐためには、折れ曲がった箇所に玉の運動方向を誘導するレールが必要だと考えました。

みなさんの回答、大変参考になりました。ありがとうございます。

お礼

みなさんありがとうございます。

ここまでの流れは大分理解しました。

もし、レールの誘導なく、
初速度や、斜面の角度の制限を満たして、
ボールが浮かずに斜面を転がったとしたら、
斜面の長さ、低い部分の距離にかかわらず、
必ず、(2)のコースの方が速くゴールするのでしょうか？

♯８さんの方法で、斜面途中のＸ軸成分の速度（例えばh/2だけ下った位置での速度）を、求めました。
それと、エネルギー保存の法則で斜面途中の速度を求めて、その速さを、Ｘ軸成分に変換してみました。

この２つの速度が一致しません。

その理由をだれか解決できますか。

回答No.5

nofutureforyou

#1の人のが正解と思うけど。

お礼

この問題は、高校１年生で習う、
運動と力やエネルギーの単元で計算ができます。

この問題は、
等速直線運動、斜面を下る運動、
エネルギー保存の法則
（当然、高校１年生で
学習し始めたばかりだから、
空気抵抗、摩擦は考えない）
この単元で解ける問題です。

これはもう学習しているので、
高校１年生でも計算はできます。
ただ、自分の答えがあっているのか分からないので、
質問しました。

最速降下曲線は、ＴＶで見たので
知っています。
この考えは、斜面を下る部分にしか適用されません。
斜面は直線ですし、
仮に、斜面がサイクロイド曲線であったとしても、
その部分の速さが分かるだけで、
(1)、(2)のコース全体で考えて、
どちらが速くゴールできるかは、
決定できません。

nofutureforyouさんは、なぜ、
♯1の人が正しいといえるのですか？

私はなぜそうなるかと、結論が欲しいです。

回答No.4

ojisan7

直感的に判断して、質問者さんの予想は正解です。すなわち、斜面の長さとか、角度とか、低い部分の距離によって、(1)のコースが速くなったり、(2)のコースが速くなったり、同時にゴールしたりします。しかし数式で説明するとなると仮定をいくつか設けなければ、高校生には難しいのではないでしょうか。でも納得していただくために、一応、高校生の数学で考えてみました。（２）のコースの場合、水平方向にa/2進み、次にhだけ垂直に落下し、次にbだけ水平に進み、次にhだけ垂直に上昇し、次にa/2だけ水平に進むものとします。（１）のコースは水平に(a+b)だけ進むものとします。初速度は（１）,（２）ともにV0とします。実際には、ボールはコースの曲がり角で飛び跳ねたりしますが、レール等で誘導して、そのようなことが起こらないものとします。（当然摩擦や、ボールの慣性モーメントなども考えません。）さて、式はどうなるでしょうか？
（１）の時間ｔ1は、
t1=(a+b)/V0
ですね。（２）の時間t2は、
t2=a/v0＋b/√(v0^2+2gh)+2√(2h/g)
となります。これで、t1とt2を比較すれば良いですが、ちょっと難しいですね。そこで、式を簡単にするために、a=0の場合について考えましょう。微分の知識がなくとも、計算はできます（多少式は長くなりますが・・・）。実際の計算は、ご自分でして下さい。結果を言うと、h=0のときは、t1=t2です（当たり前ですね）。0<h<s（sはある値です。計算によって求まります。）のときは、t1>t2となります。ｈ=sのときはt1=t2となります。h>sのときは、t1<t2となります。

お礼

やっぱりそうですよね！

私なりに、適当な数字を当てはめて、
低い部分を短くして計算したら、
(2)の方が時間がかかったので、
考えは正解だったんですね。

ありがとうございます。

今から、ojisan7さんの計算を紙に書いて、
確認してみます。

回答No.3

Interest

> (2)のコースの方が、速度は速くなるけど、走る距離が長くなりますよね？

いえいえ、水平方向だけみたら、距離は変わっていませんよね。なにせ、前提条件が

> 初速度は(1)のボールも(2)のボールも同じで、水平距離も同じです。

なのですから。
水平方向の距離が変わらず、速度が上がっている区間があれば、（２）のほうが先にゴールする。納得していただけました？

お礼

返事ありがとうございます。

例えば、大げさに（下の図をもっと大げさに）
水平距離は同じで、
すごい急な斜面を作る。
すごい長い
道のりを走らせる。この場合は、
(1)の方が速く着きませんか？

(1)
→
○
￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣

(2)
→
○
￣￣＼ 　　　　　　 　　　　　　　 　 /￣￣￣
　　　　＼ 　　　　　　　　　　　 /
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回答No.2

ginlime

摩擦抵抗も空気抵抗も無い仮定の世界（高校の物理の世界）では
（１）も（２）も同じ到着時間だと思います。
（２）がある高さを落ちて、落ちた同じ高さを登る場合には、落ちる時に失った位置エネルギーが速度に変わり、速度が速くなります。登りきった時に得た位置エネルギー分の速度低下がありますから、元の速度に戻ります。最終的には（１）も（２）も同じ速度で同じ時間にゴールすると思うのであります。現実の世界ではなかなか難しいですが。

回答No.1

guuman

これは最速降下曲線の問題です
経路がサイクロイド曲線のときに最も早くA地点からB地点に移行します
オイラーの方程式を解いて導くことができます