斜方投射と斜面を転がる運動の複合問題

質問

斜方投射の後に斜面を転がる物体の運動です。

以下，問題文です。

水平面上の点Ｏから始まる傾きθ(θ>0)の斜面がある。Ｏから左に距離L離れた水平面上の点Pから，小球を角度θ右斜め上方に速さV0で打ち上げた。
問1.小球が水平面上に落ちずに，斜面上に落下するために必要かつ十分なV0の条件はどうなるか選べ。
問2.問1の条件が満たされたとき，小球が斜面上に落下した地点とPとの間の水平距離はいくらか，選べ。

自由落下距離と鉛直投げ上げ成分との
兼ね合いから導出していくと思いますが，
斜面への落下が難です。

ご教授頂ける方，何卒宜しくお願い申し上げます。

回答No.1

Lokapala · ベストアンサー

V0をvと表記します。
問1、vtsinθ-1/2gt^2=0,vtcosθ>L
上の式を解けば答えが出ます。一つ目は、物体が水平面に落下した時の方程式で、二つ目は、その時に、小球がL以上の距離にある条件です。

問2、vtsinθ-1/2gt^2=y,vtcosθ=x
上の式からtを消去すると、小球の軌跡の方程式が出ます。具体的にいえば放物線です。ここで出る放物線は、原点を点Pとしているので、原点を点Pとしたときの、斜面の方程式を出します。
y=xtanθ-Ltanθ
求めた放物線の方程式と斜面の方程式からｙを消去すると、落下点のx座標が出てきます。

確認のためですが、答えは(6)と(2)です。

2sinθcosθをsin2θに変換することの気付けば、あとはできると思います。ついでにグラフを。青が小球の軌跡、赤が斜面の方程式です。数値は適当。（x>0,y>0）

お礼

Lokapalaさん，ご回答誠にありがとうございます。
要点を端的に把握できました。

解答の初期条件を図からどのように決定するか
悩みどころでしたので，ピンポイントに
納得できました。

さらに，ご丁寧にグラフまで添付して頂き至れり尽くせり，
理解が一層早まりました。
数学的な面は自身で補えても，現象解析は不慣れですので
ご回答を今後十分に役立たせて頂きます。

回答No.2

buturikyou

問い(1)ですが、物理学では不等式は扱わないのが古からの慣習でして「ｖ0がある値よりも大きくないと斜面にまで届かない」ということから「(1)(3)(5)をまず排除する」というのが正統的な解き方でしょう。

ｖ0ｔsinθ－ｇｔ^2/２＝０よりｔ＝０を不適としてｖ0＝ｇｔ/２sinθ
また、ｖ0cosθ・ｔ＝Ｌだから、ｖ0^2＝ｇＬ/２sinθ・cosθ
ここで倍角公式より、２sinθ・cosθ＝sin2θ　∴(6)が答えです！

水平方向をｘ、垂直方向をｙとすると
ｙ＝ｖ^0ｔsinθ－ｇｔ^2/２　かつ　ｘ＝ｖ^0ｔcosθ
この両式からｔを消去すれば
ｙ＝ｘtanθ－ｇｘ^2/２ｖ0^2・cos^2θ
斜面の方程式は、ｙ＝tanθ・(ｘ－L)＝ｘtanθ－Ltanθ
両者からｙを消去すればｘtanθが消えて・・・
∴(2)が答えです！

全体として三角関数の公式を使いこなせるかどうか、と、図を見ながら丁寧に式を立てられるか、に掛かっているようです、頑張って下さい・・。

お礼

buturikyouさん，ご回答誠にありがとうございます。

問1.に関してですが，歴史的な背景も織り交ぜて頂き
大変勉強になります。記号一つ不等号ですが，
「ｖ0がある値よりも大きくないと斜面にまで届かない」
を深慮すれば納得がいきます。

私の躓きどころを見事に取り去ることができました。
これらを参考に整理し，理解に役立てたいと思います。