天窓から見える空

質問

天窓から見える空って全体のどのくらいなのだろうという疑問が浮かびましたが、計算のしかたが分かりません。

縦aメートル、横bメートルの長方形の天窓が水平にあり、その中央部の真下cメートル（天窓の四隅から等しくdメートルでも構いません）の位置に視点があるとき、この天窓から見える空の、空全体（半球）に対する割合はどうなるでしょうか？

念のため、課題等ではありません。もしあまり面倒でなければよろしくお願いします。

回答No.9

stomachman · ベストアンサー

うう。計算間違えるからやりたくなかったのですが…

球面三角形pqrについては
|OP| = c, |PQ| = a/2, |QR| = b/2
∠OPQ = π/2, ∠PQR = π/2,
ですから、
|OQ|^2 = |PQ|^2 + |OP|^2 = (a/2)^2 + c^2
|PR|^2 = |PQ|^2 + |QR|^2 = (a/2)^2 + (b/2)^2
なので、
tan(∠pOq) = tan(∠POQ) = |PQ|/|OP| = a/(2c)
tan(∠qOr) = tan(∠QOR) = |QR|/|OQ| = b/√(a^2 + 4 c^2)
tan(∠rOp) = tan(∠ROP) = |PR|/|OP|　=( √(a^2 + b^2))/(2c)

sin(∠p) = sin（∠pOq)/sin(∠rOp)
sin(∠q) = sin（∠qOr)/sin(∠rOp)

同様に、球面三角形psrについては
|OP| = c, |PS| = b/2, |SR| = a/2
∠OPS = π/2, ∠PSR = π/2,
ですから、
|OS|^2 = |PS|^2 + |OP|^2 = (b/2)^2 + c^2
tan(∠pOs) = tan(∠POS) = |PS|/|OP| = b/(2c)
tan(∠sOr) = tan(∠SOR) = |SR|/|OS| = a/√(b^2 + 4 c^2)
（tan(∠rOp) は球面三角形pqrと共通です。）

以上から、a=2, b=3, c=1とすると、
∠pOq =Atan(a/(2c)) ≒ 0.785
∠qOr = Atan(b/√(a^2 + 4 c^2)) ≒ 0.815
∠rOp = Atan(( √(a^2 + b^2))/(2c)) ≒ 1.064
∠pOs = Atan(b/(2c))　≒　0.983
∠sOr = Atan(a/√(b^2 + 4 c^2))　≒　０．６１５
となり、従って、

∠rpq = Asin(sin(∠pOq)/sin(∠rOp))　≒　0.942
∠prq = Asin(sin(∠qOr)/sin(∠rOp)) ≒ 0.983
∠pqr = π/2
△pqr = (∠rpq+∠prq+∠pqr - π) ≒ 0.354

∠spr = Asin(sin(∠pOs)/sin(∠rOp)) ≒ 1.258
∠prs = Asin(sin(∠sOr)/sin(rOp)) ≒ 0.721
∠rsp = π/2
△rsp = (∠spr+∠prs+∠rap - π) ≒ 0.408

そして、
4(△pqr + △rsp )/(2π）　≒ 0.485

お礼

お礼が大変遅くなってすみません。

回答No.6と結果が違ってしまうので、悩んだあげくしばらくほったらかしてしまったのですが、

∠sOr = Atan(a/√(b^2 + 4 c^2))　≒　０．６１５

は ≒0.506 ですね。また細かいことですが

△rsp = (∠spr+∠prs+∠rap - π) ≒ 0.408

の ∠rap は ∠rsp ですね。

これで、いくつかの数値を入れて計算してみても答えが同じになりました。感激です。お二人に心からお礼申し上げます。

回答No.10

stomachman

No.9の、やっぱり計算間違いやらかしてましたか…ほんとにどうも、いつもの事ながらイーカゲンで申し訳ない。

お礼

いえいえ、考え方と計算を詳しく教えていただきまして、まことにありがとうございました。

回答No.8

stomachman

No.5の「お礼」について

ほんとだ。また間違えてる…
ったくどーも、いい加減ですいませんね。
u = ∠pOqは
tan u = a/(2c)
v = ∠qOr は
tan v = b/ √(a^2 +4 c^2)
w = ∠rOp　は
tan w = (√(a^2 + b^2))/(2c)
今度こそは真面目にやりましたから、案外大丈夫です。

お礼

たびたびありがとうございます。

a=2, b=3, c=1 として計算してみました。

tan u = a/(2c) = 1
u = 0.7854

tan v = b/ √(a^2 +4 c^2) = 1.0607
v = 0.8148

tan w = (√(a^2 + b^2))/(2c) = 1.8028
w = 1.0644

sin(∠p) = (sin v)/(sin w) = 0.8321
∠p = 0.9828

sin(∠r) = (sin u)/(sin w) = 0.8086
∠r = 0.9418

球面三角形pqrの立体角 （∠p+∠r - π/2） = 0.3538

もう一方の球面三角形ですが、球面四角形でのuの向かいの辺はやはり a/(2c)、v の向かいの辺はやはり b/ √(a^2 +4 c^2)、w は共有されているので等しい、ような気がするのですが違うでしょうか。

ここからの、もう一方の球面三角形の計算がうまくいかないのですが、明日から４日ほどアクセスできないので、その後また質問させていただくかもしれません。

回答No.7

ojisan7

タイプミスをしてすみませんでした。ｃと書くべきところをｄと書いてしまいました。

>cosBが負になるようですが、このまま続けてよいでしょうか。

B>π/2が予想されますので、当然、cosBは負になります。

>Ω = 4*B-2*π = 2.8549これを半球の 2πd^2 で割ると 0.227となりました。

Ωを半球の立体角2πで割らなければなりません。

お礼

> B>π/2が予想されますので、当然、cosBは負になります。

あっ、そうですね。

> Ωを半球の立体角2πで割らなければなりません。

失礼しました。2πで割って0.4543ですね。

何度もありがとうございました。

回答No.6

ojisan7

No.2です。長方形の天窓の場合について考えてみました。
視点をＯを中心とし、長方形ＡＢＣＤの頂点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄを通る球の半径ｒの２乗は、
r^2=d^2+(a^2+b^2)/4
です。長方形の辺aの上にある大円の弧の長さは中心角をαとすると、
r*α=r*ArcCos(1-a^2/2r^2)
となります。同様に、長方形の辺ｂの上にある大円の弧の長さは中心角をβとすると、
r*β=r*ArcCos(1-b^2/2r^2)
となります。
次に、長方形の対角線ACの上にある大円の弧の長さは中心角をγとすると、
r*γ=r*ArcCos{1-(a^2+b^2)/2r^2)
となります。
球面三角形の余弦定理より、長方形の上に載っている球面長方形の一つの角Bの大きさは、
cosB={cosγ-cosα*cosβ}/(sinα*sinβ)
となりますね。明らかに角A,B,C,Dは等しいので、球面四角形の面積過剰Ωは、
Ω＝4*B-2*π
これが長方形を見込む、立体角に等しいのです。

お礼

たびたびありがとうございます。

dは視点と長方形の角との距離という意味で書いたので、r=dでいいですよね。

a=2, b=3, d=2の場合を計算してみました。

α = ArcCos(1-a^2/2r^2) = 1.0472
β = ArcCos(1-b^2/2r^2) = 1.6961
γ = ArcCos{1-(a^2+b^2)/2r^2) = 2.246
cosB = {cosγ-cosα*cosβ}/(sinα*sinβ) = -0.6547

cosBが負になるようですが、このまま続けてよいでしょうか。

B = 2.2845

Ω = 4*B-2*π = 2.8549

これを半球の 2πd^2 で割ると 0.227となりました。

補足

このご回答に次点しか付けられなくて大変心苦しいのですが、実際の計算では式が簡単なこの方式を使わせていただいています。ありがとうございました。

回答No.5

stomachman

毎度の事ながら、stomachman、アホなチョンボをしました。訂正です。
No.4で
> sin(∠p) = (sin u)/(sin w)
> sin(∠q) = (sin v)/(sin w)
と書いたのは、チョンボ。正しくは
sin(∠p) = (sin v)/(sin w)
sin(∠q) = 1
です。

ところで、球面直角三角形pqrの内角のうち、本当に求めたいのは∠rです。なぜなら、∠q=π/2は初めから分かっているし、∠pについては、球面直角三角形prsの頂点pに於ける内角と足し算するとπ/2になることも分かっていて、計算する必要がないからです。
　なのにNo.4には肝心の∠rの計算方法が書いてないじゃん！と、これが最大のチョンボでして、
sin(∠r) = (sin u)/(sin w)
です。

お礼

詳しいご回答と計算、まことにありがとうございました。

たわいない疑問の先にこんなに興味深い球面三角法の世界が広がっていたとは。

> sin v = b/(2c)

ですが、視点からPまでの距離 d が斜辺になるので

sin v = b/(2d)

でよろしいでしょうか。

> 正しくは
> sin(∠p) = (sin v)/(sin w)
> sin(∠q) = 1

そうしますと球面三角形pqrの立体角は

（∠p+∠r - π/2)

ということですね。

ところで、球面三角形pqrとprsの面積は同じにはならないのですね？同じなら計算が楽なのですが…。

回答No.4

stomachman

視点を原点Oとし、窓の長方形の中心と視点Oとを結ぶ直線を、ここでは「主視線」と呼ぶことにしましょう。主視線は窓の長方形と垂直です。
　まず、互いに平行な辺の中点同士を結ぶ直線で長方形を４つに切り分けます。そして、そのうちの一つについてだけ考えることにします。従って、この小さい長方形は、一つの頂点が主視線上にあります。これを長方形PQRSとしましょう。ただしPが主視線上にある頂点で、辺の長さはPQ=RS=a/2, QR = SP = b/2ということにします。

　以下、図を描きながらご覧下さい。また、「なんでそうなるのか？」に関する説明は省きますから、球面三角法の教科書等をご参照戴くようお願いいたします。

　さて、えーと、この長方形を、視点を中心とする単位球面上に投影したものを考えます。すると、長方形の辺は全て球面上の大円に投影されます。頂点P,Q,R,Sを投影したものをそれぞれ点p,q,r,sとします。球面上の四角形pqrsの内角∠p,∠q,∠sは直角ですが、∠rは直角よりも大きくなります。
　さらに、球面上の四角形pqrsを、ふたつの球面三角形pqrとprsに分割します。するとどちらも球面直角三角形になります。
　さて、球面三角形の立体角(すなわち、単位球面上での面積）は(内角の和-π)である、ということを使って、まじめにしこしこやってみましょう。

　まずは球面直角三角形pqr（∠qが直角です）を取り上げて、方針を説明します。
u = ∠pOqとすると、u = ∠POQであり、従って、
sin u = a/(2c)
です。
v = ∠qOrとすると、v = ∠QORであり、従って、
sin v = b/(2c)
です。そして、
w = ∠rOpとすると、w = ∠ROPであり、
cos w = （cos u)( cos v)
です。さらに、
sin(∠p) = (sin u)/(sin w)
sin(∠q) = (sin v)/(sin w)
という関係があります。
　これらを使えば、球面三角形pqrの立体角を
（∠p+∠q+∠r - π)
で計算できます。
　同様に、球面直角三角形prs（∠sが直角です）についても、その立体角が計算できます。
　ところで、初めに窓を4等分したんでしたから、これらの和をさらに4倍したものが、窓の立体角です。一方、「空全体」は半球ですから、その立体角は2πであり、従って、
4（△pqrの立体角+△prsの立体角）(/(2π）
がお求めの答、ってことになります。

　では、具体的に計算を…やりたくないです。面倒ですから。

回答No.3

sak_sak

天窓が小さく、観測者の目が天窓よりも充分下にあるならば、ab/(4πc^2)

お礼

なるほど。しかしそう天井の高い家もなかなか持てないので、一般的な場合も知りたいと思いまして。

ところで半球なので ab/(2πc^2) ではないかと思うのですが…。

ありがとうございました。

回答No.2

ojisan7

長方形の天窓は難しいですね。勝手ですが、問題を少し変えさせて下さい。長方形ではなく、半径がｒの天窓を、その中央部の真下ｈメートルからのぞくとき、その立体角Ωを求める場合について考えさせて下さい。この場合は、たぶん、計算のミスがなければ、

Ω=2π[1-1/√｛1+(r/h)^2}]

となるんじゃないかと思います。空全体（半球）に対する割合は、

[1-1/√｛1+(r/h)^2}]

となります。

長方形の天窓の場合はどうでしょうか？どなたか分かる方はいませんかぁ～

お礼

丸い天窓とは洒落てますね。でも工費がかかりそうです。

半径1mの丸天窓を2m下から見ると空の約1割が見えるということになるでしょうか。

ご回答、ありがとうございました。

回答No.1

yonpo

サイン、コサイン、なんになるって歌がありましたが
サイン、コサイン、タンゼントを使って考えよう

お礼

三角関数を使うのだと、私も思います。