箱 保存則

質問

滑らかで水平な床に質量Mの箱が置かれ、箱の中央の位置で質量mの小球Pが長さlの糸で吊り下げられている
糸が鉛直方向と角θをなす位置AまでPを移し、全体が静止した状態でPを静かに離す
そのとき、箱は初めの位置からどれだけ動いているか

解き方を教えてください

回答No.1

Quarks · ベストアンサー

>そのとき

これに関する具体的な記述がありませんから、どのように答えれば良いか不明なのですが、いくつか推測してみます。

(1)手放した後、初めて、糸が鉛直になった瞬間　
(2)手放した後、(箱は動き出すのですが、その後)初めて、箱が静止する瞬間　
(3)糸が鉛直方向から角度φ(|φ|<θ)の傾きを示した瞬間

(1)系に作用する外力は重力だけで、重力は水平方向には働いてません。つまり、水平方向の重心位置は、(箱やオモリの運動とは無関係で)変化しないはずです。
オモリを手放した瞬間の箱の中心位置を原点とし、オモリを手放した直後、箱が動き出す方向を正の方向として、ｘ軸を取ってみます。　
以下では、ｘ座標のみを問題とします。
手放した瞬間、重心位置のｘ座標は
　ｘ0＝(ｌ・cosθ/(Ｍ+ｍ))・ｍ
糸が鉛直になった瞬間、箱の中心に、重心がありますから、求める移動距離は
　ｘ0＝(ｌ・cosθ/(Ｍ+ｍ))・ｍ
となります。

(2)対称性から考えて、箱内で観察すると、おもりを吊していた糸は初めの位置と逆の方向にθだけ振れているはずです。
箱の中心から重心までの距離は、
　－ｘ0
ということです。
∴ｘ0の２倍だけ箱は移動するはずです。
　ｘ1＝２・(ｌ・cosθ/(Ｍ+ｍ))・ｍ

(3)糸のなす角度がφのとき、重心位置は、箱の中心から見て
　ｘ(φ)＝(ｌ・cosφ/(Ｍ+ｍ))・ｍ
です。なお、φの正負については、鉛直方向から最初の糸の傾き方向を正としました。
この位置が　ｘ0＝(ｌ・cosθ/(Ｍ+ｍ))・ｍ　に一致しているのですから、
　ｘ2＝ｘ0－ｘ(φ)
　＝(ｌ・ｍ/(Ｍ+ｍ))・(cosθ－cosφ)

補足

書き忘れてすみません、糸が最下点に達したときです
ｘ0＝(ｌ・cosθ/(Ｍ+ｍ))・ｍ
となるのは何故ですか？