因数分解

質問

四次式を　二次式×二次式　に因数分解する方法誰か知りませんか？知っている方教えてください。おねがいします。

回答No.1

adinat · ベストアンサー

高校までで習うのは複二次式x^4+ax^2+bのタイプか、あるいは二次式どころか因数定理を使って一次式に分解できる場合のどちらかです。

それ以外で二次に因数分解されるようなケースは次の公式を使って解くより他にありません。
(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)=x^4+(a+c)x^3+(b+ac+d)x^2+(bc+ad)x+bd

例．x^4+3x^3+3x^2+3x-2
bd=-2より、b,dは-1,2か1,-2の組み合わせしかない。どちらがbでどちらがdであってもよいから、
(A) (x^2+ax-1)(x^2+cx+2)
(B) (x^2+ax+1)(x^2+cx-2)
のいずれかしか考えられない。
(A)の場合、3乗の係数:a+c=3、2乗の係数:ac+1=3だから、a,cは足して3かけて2になればよい。それは2,1という組み合わせがある。
(B)の場合、3乗の係数:a+c=3、2乗の係数:ac-1=3だから、a,cは足して3かけて4になればよい。それは不可能。

よって可能なのは、
(A') (x^2+x-1)(x^2+2x+2)
(A'') (x^2+2x-1)(x^2+x+2)
のどちらかだが、1乗の係数が一致するのは後者なので、因数分解は後者に決定する。

整数係数（有理数係数）で整数係数（有理数係数）の範囲で因数分解するならこの方法でうまくいきます。それ以外の場合は4次方程式の解の公式（フェラーリの公式など）を使うよりありません。

お礼

なるほど。組み合わせを考えてやるしかないのですね。ありがとうございました。