y=tanθのグラフ

質問

sinθやcosθのグラフは理解できるのですが、このtanθのグラフのしくみが
よくわからないので、描くことができません。

なぜ、漸近線で始まり、漸近線で終わって次の周期に行くのでしょうか。

よろしくお願いします。

回答No.4

quoth · ベストアンサー

久しぶりの高校数学でまともな答えが出せるか地震がありません。ご了承ください。

漸近線は「限りなく近づく線」のことです。
ここでポイントなのは「限りなく近づくけど、その線にはぜったいにくっつかない」ということです。

なので「90度のときは値はなし」となります。分数の分母が０のときと同じことです。80度くらいから90度に向かって限りなく近づくとtanθは限りなく大きくなっていきます。でも90度よりちょっとでも小さな値であればとても大きな数字でtanθの値は「存在できます」。しかし90度になったとたん値はなくなります。プラスの無限大に向かっていく（極限(lim)の話をしていますので、ここは感覚的な話かもしれません）。
また90度よりちょっとでも大きくなるとマイナスで（絶対値の）大きな数字で値として存在できますけど、やっぱり90度になったとたん値はなくなります。イメージとしてはマイナス無限大という感じでしょうか。

「値が0である」ことと、「値が存在しない」ということは「違う意味」ですので注意が必要です。0であるということは0であるという値が存在しています。値が存在しないということはどの数字でもなくもちろん0でもありません。

補足

一人で悩んでいたときより、少しわかるようになってきましたが、
まだ疑問が残ってます。

>「値が0である」ことと、「値が存在しない」ということは「違う意味」ですので注意が必要です。0であるということは0であるという値が存在しています。値が存在しないということはどの数字でもなくもちろん0でもありません。

これは知りませんでした。
質問してみてよかったです。θが0°となるとき、傾き(tan)は０という「値」
なのですね。

θ=90°のとき、sinθ=1ですが、cosθ=0となりますよね。
1/0では「値は存在しない」
しかし、θが0°のとき、すなわち0/0ならば「値が存在する」となると判断しても
よいということですよね？

回答No.6

tarame

#3で答えたtarameです。

＞グラフでは漸近線が90°から270°となってますので、なぜこう考えるのか、わかりません。

tanθが、sinθ，cosθと違うところは、定義できない角度θがあるということです。
tanθ＝sinθ/cosθですから、分母のcosθ＝0 となるθのとき、tanθは値を持ちません。
cosθ＝0 となるθは、θ＝…,－90°,90°,270°,450°,…
です。
だから、これらの角度のところで、tanθのグラフが途切れてしまうわけです。

お礼

>cosθ＝0 となるθは、θ＝…,－90°,90°,270°,450°,…
です。

これで、漸近線の意味が理解できるようになってきました。

ありがとうございました。

回答No.5

quoth

＃４です。
＞θ=90°のとき、sinθ=1ですが、cosθ=0となりますよね。
1/0では「値は存在しない」

これは正解です。

＞しかし、θが0°のとき、すなわち0/0ならば「値が存在する」となると判断してもよいということですよね？

θ=0度の時は、tanθ=sinθ/cosθ=0/1(イチ分のゼロ)ですので、値は0です。

ただし、計算の結果0/0ということになるのであればそのときは「値はなし」（=値は存在しない）となります。
（これは三角関数とはまったく関係ない話で、よく忘れられますが、実は小学校でやっている話です。割り算のときはゼロでは割ってはいけないというやつですね。）

グラフのページを見ましたが、あれだと勘違いされやすいですね。漸近線上には点は打てません。（平行線は絶対に交わらないからです。）でも90度からちょっとでもずれれば、物理的に可能かどうかは別にして、理論的には点がはるか遠くに打てるはずです。

漸近線というのは、グラフを書くときに「この線に近づいていっていますよ」という証拠として書くものです。
正しくグラフが書ければそれはそれで問題ないかもしでませんが、「漸近線に近づいていっている」というのがこのグラフの特徴ですので、その特徴を際立たせる為にかいているのです。逆にいえばこのポイントを正しくわかっていれば、このグラフを正しく書いているということになり、正解とわかりやすいのです。

お礼

>θ=0度の時は、tanθ=sinθ/cosθ=0/1(イチ分のゼロ)ですので、値は0です。

そうでした！すみません、ボケてました。
値は０ならOKなんですね。
ただ、「分母が０になる」と「値なし」になるため、
結局グラフは漸近線に限りなく近づくという結果になると
いうことですね。
なるほど、よくわかりました。

ありがとうございました。

回答No.3

tarame

＞sinθやcosθのグラフは理解できるのですが
どのようにして、理解しているのでしょうか？
もしかして、θに代表的な値(0°,30°,45°,60°,90°…)を代入してグラフを描いてますか？

＞tanθのグラフのしくみがよくわからない
上と同じような方法で描こうとすると、グラフを理解するのは、ちょっと大変かと思います。

グラフを描く前に、三角関数の定義をきちんとつかんでおきましょう。
三角関数は、円を使って定義されていますよね。
その円を、単位円（半径が１の円）にすると、θの半径と円の交点が（cosθ,sinθ）となります。
また、θの半径の延長と直線ｘ＝１との交点が（１,tanθ）となります。
このことを利用して、三角関数のグラフをイメージすると解りやすいと思いますよ。

θを0°から始めて90°に近づけてみてください。
ｘ＝１との交点は、ｘ軸からどんどん離れていきますよね。
このことから、tanθの値がいくらでも大きくなることがわかります。
次に、180°から90°に近づけてみましょう。

いかがでしょうか？
＞漸近線で始まり、漸近線で終わって次の周期に行くのでしょうか
の解決になりませんか？

補足

>もしかして、θに代表的な値(0°,30°,45°,60°,90°…)を代入してグラフを描いてますか？

sinθ、cosθのときは、-1、0、1の値をとるときの点をひろって描いてます。
tanθのときは漸近線からして、未だに意味がわかりません。
周期が180°というのも丸暗記しただけで、なぜそうなるのかはわかってません。

>上と同じような方法で描こうとすると、グラフを理解するのは、ちょっと大変かと思います。

漸近線単位円上の点をP(a,b)とし、動径OPの表す角をθとすると直線x=1と直線OP
との交点をT(1,m)とする。

とありましたが、理解しようとy=tanxのグラフ(http://www.phoenix-c.or.jp/~tokioka/animation/triangle_func/200.html)を何度見てもやはり、漸近線の意味からして、よく理解できません。

>θを0°から始めて90°に近づけてみてください。
ｘ＝１との交点は、ｘ軸からどんどん離れていきますよね。

x=1とどんどん離れていきますが、θが90°に近づくにつれ、直線θ=90°に限りなく
近づいてますよね？

また、180°から90°の順に近づけるのはどうしてでしょうか？
グラフでは漸近線が90°から270°となってますので、なぜこう考えるのか
わかりません。
また、このときもx=1との交点で考えるんでしょうか。

回答No.2

JaritenCat

tanθ=sinθ/cosθ を考えると、θ=90°のとき分母が0になるので、tan90°は未定義になります。

補足

θ=０°のときも、傾きがなくなりますよね？
これは未定義にならないのでしょうか。
変極点があるということは、傾きが０になったということでしょうか？

また、漸近線はどのように定義されていくのでしょうか？
周期180°のときでさえちんぷんかんぷんです。

回答No.1

BLUEPIXY

直角３角形で斜辺をｃ他の辺をａ，ｂとして、
ｃとａで挟む角をθとすると
ｔａｎθ＝ｂ／ａ
ですよね。
θが９０°に近づく時、
ａは、０に近づきますよね。
そういうことなんですけど。

グラフを描く時は、
単位円で考えるなら、（ｘ，ｙ）＝（１，０）で単位円に接する直線と半径を延長した直線が交わるところがｙになると考えればいいです。

補足

すみません、
>θが９０°に近づく時、
ａは、０に近づきますよね。
そういうことなんですけど。

aが０に近づくということが理解できないんですが。
aはもとから０のところにあるのではないかと思うんです。
それと、漸近線はどのようにして定義されるのでしょうか。

y=tan(θ-30°)なんてなってくるとわけわからなくなってしまいます。