微分

質問

(cosθ）'=-sinθ
だと思いますが、
３cosθ'=-３sinθ
で合っていますか？

y=(1+1/x)^3 のとき、
y'=3(1+1/x)^2*（-2x^-2）
だと思いますが、
y''はどうすれば求められますか？

混乱です。宜しくお願いします。

回答No.4

NobNOVA · ベストアンサー

関係ない人ですが（ｗ

> 微分の微分は、
> d^2y/dx^2=(dy'/dt)/(dx'/dt)=y''/x'
> と習ったのですが、
> どうして
> y'' を x'で割らなければいけないのですか？

何の変数に関しての微分なのかということに着目してください。
d^2y/dx^2はyをxで2階微分したものなので、
略して書けばy''です。
しかし、後者のy''/x'は
どちらもtに関して2階（または1階）微分したものです。

y''を求める際にy'を微分すればよいというのは
確かに一理ありますが、
中には直接的にy''を求めることができない関数もあります。
上の式は、そのようなときに役に立ちます。

その例も含めて、この辺の話は高木貞治氏の
「解析概論」という本に載っています。
読むのは少々難解だと思いますが、
微分積分学に興味があるならば、
第3章まででも少なくとも読む価値はあると思います。

ちなみに与えられた関数の変数が自明でない場合は、
私は微分記号として'を使うのは避けています。
自分自身が混乱するので（汗

回答No.3

chukanshi

(3cosθ)'=-3sinθ
はあっています。

(f*g)'=f*g'+f'*g
です。
それと
(x^n)'=nx^(n-1)
n:正でも負でもOK
です。

答えあわせにつかってください。
y=(1+1/x)^3
y'=3(1+1/x)^2*(-x^(-2))
y''=(y')'
=6(1+1/x)*(-x^(-2))+3(1+1/x)^2*(2x^(-3))
あとは適当に整理してお好みの形にしてください。

補足

微分の微分は、
d^2y/dx^2=(dy'/dt)/(dx'/dt)=y''/x'
と習ったのですが、
どうして
y'' を x'で割らなければいけないのですか？
y''を求めるのだから、y'をもう一度微分すればいいのに、
と思うのですが。。。

例えば、x= sin t
y=t^2+7t+3 があります。
dy/dx(←実はこれもなん式なのかよく分かっていませんが、、、)は、
y'/x'= (2t+7)/cos t ですよね。
それで、さらに、それを微分したいのですが、
その時に、私は
{(2t+7)'*cost－(2t+7)*(cost)'}／(cost)^2
だけで良いと思うのに、本当はそれを x'で割るのですよね。
それで、答えは
{2cost+(2t+7)(sint)}/(cost)^3 としなければいけないのが
不思議でたまりません。

回答No.2

hitomura

ひとつだけミスを見落としていました。

＞y=(1+1/x)^3 のとき、
＞y'=3(1+1/x)^2*（-2x^-2）
ではなく、
y'=3(1+1/x)^2*（-x^-2）
です。

したがって、先のアドバイスで、
＞g=-2(x^-2)とおいて
という所は「g=-1*(x^-2)とおいて」と読み替えてください。

回答No.1

hitomura

まず、f,gが微分可能な関数、cが定数の場合、(cf)'=c(f)'、(fg)'=f'g+fg'というのは解りますよね？

１番目：c=3,f=cosθとおいて解きます。

２番目：f=3(1+1/x)^2,g=-2(x^-2)とおいて解きます。

((1+1/x)^3)'が解けたのですからあなたはこれだけのヒントで解ける実力があると思います。あとは自力でがんばってください。