大学の積分の問題です

質問

∬1/√(x^2+y^2)dxdy D＝{(x,y)|0≦x≦1,0≦y≦1} この領域Dでの積分の問題がどうしても解けません。解答をおせていただけないでしょうか。よろしくお願いします。

回答No.1

tomochin630 · ベストアンサー

x = r cosθ
y = r sinθ

とおくと、dxdy = rdθdrより、

　∬1/√(x^2+y^2)dxdy　=　∬rdrdθ/r

と書けます。 このとき、領域Dをrとθで表すと：
(1)0≦r≦1/cosθ (0≦θ≦π/4のとき)
(2)0≦r≦1/sinθ (π/4≦θ≦π/2のとき)
となります。

(2)は、θ'=π/2-θとおくと、(1)と同じになりますから、
結局、(1)の領域で積分して２倍すれば良い事になります。

即ち：

　∬1/√(x^2+y^2)dxdy　＝　2∫[θ=0→π/4]∫[r=0→1/cosθ] drdθ
　＝　2∫[θ=0→π/4]dθ/cosθ

ここで、∫dθ/cosθは、

　∫dθ/cosθ　＝　∫cosθdθ/(cosθ)^2
　　　　　　 ＝　∫cosθdθ/{(1+sinθ)(1-sinθ)}
　　　　　　 ＝　(1/2)∫{d(1+sinθ)/(1+sinθ)-d(1-sinθ)/(1-sinθ)}
　　　　　　 ＝　(1/2)log|(1+sinθ)/(1-sinθ)| + C
　　　　　　 ＝　(1/2)log|(1+sinθ)^2/(cosθ)^2| + C
　　　　　　 ＝　log|(1+sinθ)/cosθ| + C

となるので、

　2∫[θ=0→π/4]dθ/cosθ　＝ 2log{(1+1/√2)/(1/√2)}
　　　　　　 　　　　　 ＝ 2log(1+√2)
　　　　　　 　　　　　 ＝ log(3+2√2)

となります。
信じるか信じないかはあなた次第です！

お礼

とても丁寧な解答ありがとうございました。

回答No.2

info22_

既に同じ問題に解答したものです。

同じ積分の問題を投稿され既に正解が出ているにも関わらず、
http://oshiete.goo.ne.jp/qa/6446343.htm
回答者の回答に対して何の応答もしない（回答に対する質問もお礼もせず）で、質問の締切らないで放置し、再投稿し、前の質問を引用もしないで重複投稿するのですか？

お礼

本当に申し訳ありません。先日載せた質問を探したところ自分の質問が見つからなかったのでもしかしたら載ってないのではないかと思い再投稿しました。完全に私の不注意です。申し訳ありませんでした。