多角形を表す関数

質問

xy 平面において
　|x| + |y| = 1
　2|y| + |(√3)x-y| + |(√3)x+y| = 2√3
　2^(1/4)*(|x| + |y|) + 2^(-1/4)*(|x+y| + |x-y|) = 2√2
はそれぞれ，正方形，正六角形，正八角形を表します．
同様にして (2n+2)角形 (nは自然数) を表す方法はわかりました．

上に挙げた例の程度のシンプルさで
（ちょっと曖昧ですがΣや場合わけを使わずにといった感じです）
(2n+1)角形を表すような式はありますでしょうか？

回答No.1

itochanda · ベストアンサー

図をプロットする際には
　正方形では９０度、
　正六角形では６０度
　正八角形では４５度、１３５度
という角度がどうしても必要になりますよね。
(2n+1)角形が、たとえば正五角形だとして、角度をシンプル（たぶん三角関数をつかわずにという意味と理解）に表記するには非常に苦労するはずです。

正六角形の式ができていますので、正三角形の式だけは作れると思いますよ（省略）。

お礼

回答ありがとうございます．

> たとえば正五角形だとして、角度をシンプル（たぶん三角関数をつかわずにという意味と理解）
> に表記するには非常に苦労するはずです。
確かにこの段階である程度複雑になってしまいそうですね．

例えば正八角形の場合，最も遠い頂点どうしを結んだ直線が
　x=0 , y=0 , x+y=0 , x-y=0
の4本になっていて，
係数を除けば左辺の絶対値の和が定数になっていることから，
偶数角形についての予測をしてしまったので
奇数角形について少し行き詰ってしまいました．

三角形について何かいいアイデアがあればよろしくお願いします．

補足

何とか式をいじって
　| 4x+(2√3)|y|-1 | + (2√3)|y| = 3
が正三角形となることがわかりました．

５角形も
　|ax+b|y|+c| + |dx+e|y|+f| + (b+e)|y| = 1
のような形に書けそうです．
５角形以上は係数が汚くなりそうですね．