オーダーについて

質問

{An}を基準になる数列(An≠0)とする。{An}が0に収束する。

このとき{Bn}が{An}のスモールオーダーだったとすると、{Bn}は{An}よりも早く0に収束することを示していますよね？
またもし、{Bn}が{An}のラージオーダーだったとすると、{Bn}は{An}と同程度以上の速さで0に収束することを示していますよね？

ここでなんですが、{Bn}は{An}のスモールオーダーであるときには、{Bn}は{An}のラージオーダーでもあるが、逆は成り立たないらしいのですが、どうしてでしょうか？「同程度の速さ」がラージオーダーに入っているわけだから、ラージの時にスモールになるのではないのですか？
とても初歩的ですみません。。。

回答No.2

Tacosan

「同程度」とかをもっと厳密に言う必要があるんだけど, 普通はこうかな:
{Bn} は {An} のラージオーダ:
適当な定数 C が存在し, 十分大きな n に対しては常に Bn ≦ C An.
{Bn} は {An} のスモールオーダ:
任意の定数 C に対し, 十分大きな n に対して常に Bn ≦ C An.
だから「ラージオーダ⇒スモールオーダ」は一般には成り立ちません.
例えば
「{An} は {An} のラージオーダ」
なんだけど
「{An} は {An} のスモールオーダ＊ではない＊」
です.

回答No.1

take008

それぞれの定義を，lim Bn/An を使って書いてみてください。
そうすると，わかると思います。