上極限とlog

質問

数列の一般論です。
｛an｝,｛bn｝がともに正実数列の時
limsup 1/nlog(an+bn)=max｛limsup 1/nlog(an) , limsup 1/nlog(bn)｝
を証明したいのですが、方針が立ちません。
ヒントだけでもよいのでご教授ください。
(とくにan、bnが下に非有界のときがどう攻めればよいかわかっていません)

回答No.1

tmpname · ベストアンサー

まず、{an}、{bn}が正実数列といっているので、an+bn > max{an, bn}であることに注意しておく。
で、具体的にlimsup (1/n)* log(an+bn) = Mの時、max {limsup (1/n)log(an), limsup (1/n) log(bn)} = Mを示す、という方針でいく。細かい所はご自身で検証してください。

1. M = -∞の時
先程言った通り、明らかに limsup (1/n)* log(an+bn)≧max {limsup (1/n)log(an), limsup (1/n) log(bn)} なので、自明。

2. Mが有限の時
limsup (1/n)* log(an+bn) = M
⇔任意のε>0に対し、ある自然数Nがあって、全てのn≧Nなる自然数nに対し、(1/n)log(an + bn) < M+ε/2、且つ（全てのn≧Nなる自然数nに対し）m≧nとなるmがあって、(1/m)log(am + bm) > M-ε/2
となることに注意。
この時、全てのn≧Nなる自然数nに対しmax{(1/n)log(an), (1/n)log(bn)} < M+ε。これからmax {limsup (1/n)log(an), limsup (1/n) log(bn)} ≦M+ε
一方、上でとったmにおいて、amとbmの大きい方をcmとおくと、cm≧(1/2)(am + bm)であって、(1/m)log(cm) > M-ε/2 - (1/m)log2であるから、mが充分大きくなるようにNをとれば、(1/m)log(cm) > M-ε
mは、任意のn≧Nに対してm≧nとなる範囲で取れるから、max{(1/n)log(an), (1/n)log(bn)} ≧M-εとなる

3 M=+∞のとき
任意の実数L、任意の自然数n≧1に対しm≧nなるmがあって、(1/m)log(am + bm)> Lとなる。
この時同様にamとbmの大きい方をcmとおくと、(1/m)log(cm) > L - (1/m)log(2) > L - log(2)であるから、任意の実数Lに対しmax {limsup (1/n)log(an), limsup (1/n) log(bn)} ≧L-log(2)