面積分

質問

ある面積分の問題でy=7(20pC/m^2),y=3(-8pC/m^2),y=-1(6pC/m^2),y=-4(-18pC/m^2)の電荷が一様に分布している問題があるのですが、点(0,0,0)における電界の強さは、吸引、反発の関係を用いて電荷(ρ)/2*ε0の式で求めることができました。しかしこれが点(2,6,-4)の点での電界になると最後にｙ成分のみが残ることは分かるのですが、なぜか答えと一致しません。xの距離も考えなくてはいけないのでしょうか？どなたか分かる方いましたら、解法をおねがいします。

回答No.3

noname#21219 · ベストアンサー

符号の付け方ですか。。
まず、無限平面に電荷が一様に分布してるときの
電場を考えます。電荷密度が「プラス」なら、平面から外に『出て行く』方向の電場になります。
両サイドに向かって、大きさρ/2ε0で出て行くのです。

電荷密度が「マイナス」なら、平面に向かって外から
『流れ込む』方向の電場が生じます。
大きさは｜ρ｜/2ε0です。

とにかくこの二つを押さえてれば、-18とか＋20とか
の±符号や、数字や、y座標の位置に惑わされる必要はありません。

問題では、まずy=7面からは、そこを中心に、両サイドに外に向かって電場が20/2ε0で生じてます。
(2,6,-4)においては、y=7面からの電場の放射は
当然y軸の負の方向です。点(2,6,-4)は、y=7面より
左にあるからです。これが、例えば(2,8,-4)なら
y軸の正の方向なわけです。

y=3面の電場は、これは電荷密度がマイナスだから、
「y=3平面に向かう」電場が発生してるわけです。
だから、点(2,6,-4)においては、この点はy=3面より
右になるから、y=3面に向かう電場ということになります。つまり、y軸の負の方向です。

同様に、y=-1面は「面から飛び出す」電場で、
点(2,6,-4)はy=-1面より右にあるから、この電場は
y軸の正、y=-4面は「平面に向かう」電場で、
点(2,6,-4)はy=-4面より右にあるから、この点の電場
はy軸の負の方向です。

以上を全て足し合わせるだけです。電場の向きは、
まず電荷がプラスかマイナスかで、放射か吸い込みかを
判断し、加えて、考えてる点とそれらの平面との
位置関係を考慮し、各々の電場を足していくのです。
ですから、電場の大きさそのものは、｜ρ｜/2ε0
つまり、電荷密度がプラスかマイナスかに関わらず
絶対値のみ考えればいいでしょう、電荷の正負は
放射か吸い込みかを判断する段階で既に考慮されてますから。

お礼

どうもありがとうございました。おかげでかなり理解できました。その他の問題を解いてこれから理解していきたいと思います。丁寧な解説ありがとうございました。

回答No.2

sanori

私は計算が苦手（本当です）なので、実際の計算はアドバイスしませんが、

一度、座標系そのものをを（＋２、±０、－４）だけ平行移動して、
（点の座標はは、逆方向の移動になります）

点（０，６、０）で計算されてみてはいかがですか？

そして、それで正しい答えが出るのであれば、
前の計算過程と比較されてはいかがですか？

また、ご存知とは思いますが、
ガウスの法則は、

「面で囲まれた内部に電荷が無ければ、面をつきぬける電気力線の本数の総和はゼロ（正と負の差し引きで）」

「電荷があれば、つきぬける電気力線の本数は電荷量の合計に比例」

です。

したがって、
ｙ方向の体積を増やせば増やすほど、電気力線の本数の総和は比例して増えますし、

ある地点の電界を求める場合は、その地点を中心に両側に対称になるのですから、

その地点を中心に両側へ無限に足し算するのが常道であって、
「任意の場所を中心」に、その両側へ無限に足し算しても、つまり、座標系をｙ方向に平行移動しても同じ結果になるかどうかを確かめるのは、その次だと思います。

すなわち、
ｘ＝０、ｚ＝０　の場合が最初。
ｘ＝任意、ｚ＝任意　の場合で確かめる。
です。

お礼

ありがとうございました。おかげで解くことができました。

回答No.1

noname#21219

y成分しか残らないと思います。
各y平面による一様電場を重ねあわせるだけだと思います。一様電場はy成分のみ値を持ち、距離によりません。ガウスの法則を使えば、仰るように
E(y)=ρ/2ε0となります

点(2,6,-4)において、y=7面からの電場は
-20/2ε0,y=3面からは、-8/2ε0,y=-1面からは
6/2ε0,y=-4面からは-18/2ε0、全て足すと
-20/ε0 となりませんでしたか？

補足

ありがとうございました。無事答えが出ました。でももう一つ分からないことがあるのですが、たぶん初歩的なことだと思うんですけど、符号のつけ方が分かりません。この場合y=6なので左右に位置する20pCと8pCはマイナスで、その次の6pCはプラス、その次(18pC)はマイナスといった感じつけていけばよいのでしょうか？y=-1.5やy=0の場合はどうなるのでしょうか？面倒だとは思いますがよろしくお願いします。