分布電荷による電界の問題

質問

長さL[m]の細い棒の上に電荷が密度λ[C/m]で一様に分布している。
この棒の中心から距離d[m]の点における電界を求めよ。

この問題の回答をよろしくお願いします。
途中までは解けたのですが、最後の置換積分がわかりませんでした。
解説していただけるとありがたいです

回答No.2

Quarks

別解です。

Ｅ＝２・∫[0..(Ｌ/2)] dＥy・dｘ
　＝{(λ・ｄ)/(２πε)}・∫[0..(Ｌ/2)] (ｄ^2＋ｘ^2)^(-3/2)・dｘ
定数部は除いて、
　∫[0..(Ｌ/2) (ｄ^2＋ｘ^2)^(-3/2) dｘ
の積分を解きます。この手の積分でよく使われる置換は
ｘ＝ｄ・tanφ
とする解法でしょう。これを辺々微分して
　dｘ＝ｄ・(1/((cosφ)^2)・dφ
また　
　ｄ^2＋ｘ^2＝ｄ^2(１＋(tanφ)^2)
　＝ｄ^2・(１/((cosφ)^2))
です。積分範囲も変わるのですが、今回は最後にまとめて処理してしまうことにして、取り敢えず、置換後の積分範囲は　
　φ：０～δ　
とでもしておきます。これらを使って積分すると

　∫[0..(Ｌ/2)] (ｄ^2＋ｘ^2)^(-3/2)　dｘ
　＝∫[0..δ] {((cosφ)^3)/(ｄ^3)}・{ｄ・(1/((cosφ)^2))・dφ}
　＝(1/(ｄ^2))・∫[0..δ] cosφ dφ
　＝(1/(ｄ^2))・sinδ
さらに、図形的にみて
　sinδ＝(Ｌ/2)/√(ｄ^2＋(Ｌ/2)^2)

∴Ｅ＝{(Ｌ・λ)/(４πεｄ)}・/√(ｄ^2＋(Ｌ/2)^2)

回答No.1

Quarks

添付図の様に、名称を付けておきます。

導体外の点Ｑにできる電場Ｅを計算することにします。
導体内の、微小長さ dＬ の部分(Ｒ)の電荷 dｑ による電場 dＥR は、
dＥx と dＥy とに分解できますが、dＥx は、Ｏに対してＲと反対側にある電荷が作る電場によって打ち消されるので、実質的には dＥy だけに注目すれば済みますから、dＥyを積分する問題になります。
ところで、積分の仕方は工夫次第でいろいろな手法がありえます。以下では、あまり一般的ではない方法かも知れませんが、積分自体は極めて単純なものになりますので、参考にして下さい。　

まずは、添付図の説明です。
　Ｑから、ＯとＲを見たとき、∠ＯＱＲ＝θ
　Ｑから dＬ部だけを見たときの微小角＝dθ
　距離 ＱＲ=ｒ
とすると、dＬ部をＱから見たときの見掛けの「長さ」は、半径ｒ、中心角dθの扇形の弧の長さと見なせますから、その「長さ」は　
　ｒ・dθ　
となります。拡大部を見て、この弧の長さとdＬとの関係を読み取ると
　dＬ=(r・dθ)/cosθ
となりますので、dＬ部の微小電荷 dｑ は
　dｑ＝λ・dＬ＝(λ・ｒ/cosθ)・dθ

このことから、
　dＥR＝(1/(4πε))・dｑ/(ｒ^2)
　　　＝(1/(4πε))・((λ・ｒ/cosθ)・dθ)/(ｒ^2)
　　　＝(1/(4πε))・((λ/cosθ)・dθ)/ｒ
また、
　dＥy＝dＥR・cosθ
　　　＝{(1/(4πε))・((λ/cosθ)・dθ)/ｒ}・cosθ
　　　＝(1/(4πε))・(λ/ｒ)・dθ
△ＲＱＯについて
　cosθ＝ｄ/ｒ
なので
　dＥy＝(1/(4πε))・(λ/ｒ)・dθ
　＝(1/(4πε))・((λ・cosθ)/ｄ)・dθ
　＝(λ/(4πεｄ))・cosθ・dθ

以上から、求める電場ＥQは、dＥyを、θが０～φまでの間で積分した値の２倍となります。
　ＥQ＝(λ/(4πεｄ))・２・∫[0..φ]cosθ・dθ
　＝(λ/(２πεｄ))・sinφ

添付図で、Ｑから、Ｏと，線導体の一方の端点Ｐを見る角度がφなので
　sinφ＝(ＯＰ)/(ＰＱ)＝(Ｌ/2)/√(ｄ^2＋(Ｌ/2)^2)
ですから
　ＥQ＝(λ/(２πεｄ))・(Ｌ/2)/√(ｄ^2＋(Ｌ/2)^2)
　＝(λ/(４πεｄ))・{Ｌ/√(ｄ^2＋(Ｌ/2)^2)}

ちなみに、ｄ>>L の場合(線分全体がＯ点に集中しているとみなせます)には、
　√(ｄ^2＋(Ｌ/2)^2)　→　ｄ
　Ｌ・λ＝Ｑ (このＱは、線導体全体の電荷)
ですから
　ＥQ＝(1/(4πε))・(Ｑ/(d^2))
となり、Ｏ点に在る点電荷Ｑが作る電場と一致します。
また、Ｌ→∞　の極限では
　Ｌ/√(ｄ^2＋(Ｌ/2)^2)　→　1/√((ｄ/L)^2＋(1/2)^2)　→　２
なので
　ＥQ　→　(1/(２πε))・(λ/ｄ)
となって、長さ無限大の直線導体が作る電場を与えることもわかります。