単振動について

質問

単振動として認めることができるための条件ってなんですか？

回答No.4

sanori

物体の位置が、中心位置からどれだけずれたかを示す言葉が「変位」です。

（過去の私の回答）
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=2116735

・物体の加速度が比例する変数が１つだけであり、
・かつ、その変数とは変位であり、
・かつ、その加速度の方向が変位の方向と逆向きである
という条件が揃えば、全て単振動になります。
（当然ながら、単振動しながら、変位の中心が等速直線移動する場合も含む。）

加速度は、位置を時間で２回微分したものなので、

ｄ^2 ｘ／ｄｔ^2 ＝ －正の定数・ｘ

という微分方程式になります。

これで、全ての単振動が表現できます。

その解は、
ｅ^(ｉωｔ) の形になります。
（オイラーの公式により、三角関数の表現に書き換えることも出来ますが、複素指数関数のままの方が計算が簡単です。）

最も単純な解である
ｘ ＝ ｅ^(ｉωｔ)
を、元の式に代入すると、

ｄｘ／ｄｔ ＝ ｉω・ｅ^(ｉωｔ)
もう１回微分すれば、
ｄｘ^2／ｄｔ^2 ＝ －ω^2・ｅ^(ｉωｔ)
（だから、三角関数よりも計算が簡単なのです）

よって、
ω^2・正の定数　＝　１
が得られます。

次に、この正体不明の定数「ω」を、分かりやすく、振動の周期に変換しましょう。

ｅ^(ｉθ) や三角関数は、２π周期なので、周期をＴをおけば
ωＴ＝２π
よって
ω＝２π／Ｔ

上記に代入すれば
（２π／Ｔ）^2・正の定数　＝　１
だから、
周期Ｔ ＝ ２π×√正の定数

高校の教科書で良く出てくる振り子（単振り子）の問題ですと、
（高校では微分方程式は教えませんが）

Ｌ・ｄ^2 θ／ｄｔ^2 ＝ －ｇsinθ

となります、
θが小さければ、θ ≒ sin θ なので、
Ｌ・ｄ^2 θ／ｄｔ^2 ＝ －ｇsinθ
ｄ^2 θ／ｄｔ^2 ＝ －ｇ／Ｌ・sinθ
上記と同じ形になりました。

だから、振り子の周期は、
２π×√（ｇ／Ｌ）
です。

ばね定数ｋのばねに質量ｍの物体をつけて、少し引っ張るか縮ませるかして手を放せば、
（簡単のため、無重力としますが）

ｍ・ｄ^2 ｘ／ｄｔ^2 ＝ －ｋ・ｘ

だから
周期　２π×√（ｋ／ｍ）
で振動する。

回答No.3

yardbird

数学的には、「等速円運動の投影になっている」ということで、これは単振動の定義ですね。

　物理的には、「その物体にはたらく力が、中心からの距離に比例した復元力になっている」ということでいいと思います。

回答No.2

noname#21219

単振動に近似できるための条件という意味合いでなら
例えば、通常のバネの振動なら、
運動方程式はmx"=-kx です⇒x"=-k/m・x
こういう式の形になっている運動は、全て単振動です。

ですが単振り子の場合、横向きx軸をとり糸の張力をTとし、糸が鉛直となす角をθ,糸の長さLとすれば
x=Lsinθ、x方向に加わる力は-Tsinθです。
一方、振り子は弧を描いて運動しますが、その糸の方向
では絶えず張力と重力の糸方向成分は釣り合っています：糸の方向には伸びも縮みもしないので。
つまりT=mgcosθ
よって、x方向に加わる力は-Tsinθ=-mgsinθcosθです。
したがって、x方向の運動方程式は
mx"=m(Lsinθ)"=-mgsinθcosθ
つまり、単振り子はバネ振り子と違い本来単振動では
ありませんが、θが小さい：θ<<1のとき
sinθ≒θ、cosθ≒1という近似が成り立ちます。
これを代入すると、上の式はmLθ"=-mgθとなり
θ"=-g/L・θとなって、θについての単振動の形になります。このとき、単振り子は単振動、かつ微小振動をしていることになります

回答No.1

yeviss

その振動を投射した際に、座標（ｘ-y-ｚ）もしくは動座標 のいずれか一つの面でのみ振動が確認され、かつその振動が等速円運動している場合

でどうでしょうか。