確立の問題（長文です・・・）

質問

とある模試の問題ですが、友達間で答えが分かれており
どの答えが正しいのか分からないので質問させて頂きます。
あるいはどちらも正しくないのかもしれませんが・・・

問

　　異なる３個のサイコロを同時に投げ、出た目の数を小さい順に
　　ｍ、ｘ、Ｍ（ただし、ｍ≦ｘ≦Ｍ）と並べる。
　　Ｍ－ｍ＝ｋとおき、ｋ＝i（i=0、1、・・・、5）となる確立を
　　Ｐ（ｋ＝i）とおくとき、
　　　(1)サイコロの目の出方は全部で何通りあるか。
　　　(2)確立Ｐ（k=0）、Ｐ（K=1）、Ｐ（K=5）を求めよ。

解１
　　　(1)目の出方は、６×６×６＝２１６通り。
　　　(2)k=0となるとき、条件より　m=x=M　であるから、
　　　　（１、１、１）～（６、６、６）の六通りなので
　　　　Ｐ(k=0)=6/216=1/36

　またk=1となるとき
　　　　m+1=x=M　もしくは m+1=x+1=M であり、mの値が一つ定まると
　　　　（x、M）の組は二つ定まる。
　　　　m≦5であるから、出方は２×５＝１０通り。
　　　　よってＰ(K=1)=10/216=5/108

またK=5のときm=1、M=6、ｘは1～6なので
　　　　出方は６通り。よって
　　　　Ｐ（k=5）=6/216=1/36

解２　　(1)(1、1、2)と(1、2、1)などは同じ出方と考えて、
　　　　　～（中略）～よって５６通り。
　　　　(2)基本的には解１と同様に解き進めるが
　　　　　全体の場合の数が異なるので
　　　　　Ｐ（k=0）=6/56=3/28
　　　　　Ｐ（k=1）=10/56=5/28
　　　　　Ｐ（k=5）=6/56=3/28

区別する、しない、などを考えていたら
ゴチャゴチャしてきてよくわからなくなってしまいました・・・（－。－；
もしお暇でしたら回答、解説をして頂けたらと思います。
よろしくお願いします。

回答No.8

sanori · ベストアンサー

ｋ＝１について、もういっちょ訂正。

ｋ＝５で、３つの中に同じ目が２個あるときと同じ考え方でした。

ちなみに、
二重人格ではないので、単なるミスです。
人格を疑わないでください。（笑）

------------------

あと、
ｋ＝１のときは、
1 1 2　が３通り、1 2 2　が３通り　で６通り
つまり、１と２だけのが６通り

２と３だけのも６通り
・・・
５と６だけのも６通り
全部で、３０通り、
だから、３０÷２１６＝

--------------------

以下、
確率というものを勉強する意味を大局的に見た時、この問題が、どういう位置づけになるかを解説します。

こういう、賭け事にしか使わないような確率計算とか、知能テストみたいなのは、大学以降では全く役に立ちません。（断言）

負け惜しみではありませんが。

したがって、
問題集や過去問集とかで、このような問題を一生懸命解いても、役に立ちません。（これも断言）

同様の問題をいくら練習したところで、違うパターンが出てくれば、パニックになります。

まー、数学史において、確率論の初期の発達には、博打の計算が大いに関係したらしいですが、それも、今は昔です。

３親等以内の結婚が、法律上認められていない理由とか、工業や物理で確率統計がどういうふうに役立っているとか、
そういう観点で、確率統計という学問を見た時、

サイコロの目を
ｍ≦ｘ≦Ｍ
だの、ｋがどうしたのこうしたのと・・・

・・・そんな問題を解くことによって、何か得るものがあるかといえば、
それは、
ファイナルファンタジーとかドラクエで、キャラクターのレベル上げてるのと同じですよ。（笑）
（自分のレベルも、ひいては、社会全体のレベルも上がらないってことです。）

この問題で、最も重要なのは、
最初に書いた、分母が２１６の約数になるはずであるという感覚です。

遺伝の問題、近親結婚を考えるときも、分母が、世代や親等の数をｎとしたとき、確率の分母は必ず、２のｎ乗になります。

分母をいじるときは、時たまありまして、そのときは「ｎ乗」の考え方を変えなければいけませんが、そういう局面に出会うことは、非常に少ないです。
私の学生時代～理工系大学～社会人を通じた経験の中でただ１つ役に立った？ことと言えば・・・

・・・自分の子供の血液型を確率で試算したとき、確率の分母が２のｎ乗にならず、６分の５ということになった。

ということ、ただ１回だけです。（笑）

くだらないですが、ちょっとだけ解説しますと、
私の血液型が未知であれば分母が２のｎ乗になるんですが、私の血液型がＯ型でないことが確定しているので、分母が６になりました。
つまり、
樹形図を作ったときに、４つの可能性のうち、１つが消えたので、分母が３の倍数になったのです。

どういう問題を作れば、答えが６分の５になるか、暇だったら考えてみてください。（笑）

回答No.7

shikisaito

訂正。

(1) 異なる３個のサイコロなので、（解1が正しく）216通り。
(2) （どちらも間違い）
　　P(k=0)= 6/216=1/36
　　P(k=1)=30/216=5/36
　　P(k=2)=48/216=8/36
　　P(k=3)=54/216=3/12
　　P(k=4)=48/216=8/36
　　P(k=5)=30/216=5/36

■ P(k=0)
(1, 1, 1)
(2, 2, 2)
(3, 3, 3)
(4, 4, 4)
(5, 5, 5)
(6, 6, 6)

■ P(k=1)
(1, 1, 2)
(1, 2, 1)
(1, 2, 2)
(2, 1, 1)
(2, 1, 2)
(2, 2, 1)
(2, 2, 3)
(2, 3, 2)
(2, 3, 3)
(3, 2, 2)
(3, 2, 3)
(3, 3, 2)
(3, 3, 4)
(3, 4, 3)
(3, 4, 4)
(4, 3, 3)
(4, 3, 4)
(4, 4, 3)
(4, 4, 5)
(4, 5, 4)
(4, 5, 5)
(5, 4, 4)
(5, 4, 5)
(5, 5, 4)
(5, 5, 6)
(5, 6, 5)
(5, 6, 6)
(6, 5, 5)
(6, 5, 6)
(6, 6, 5)

■ P(k=5)
(1, 1, 6)
(1, 2, 6)
(1, 3, 6)
(1, 4, 6)
(1, 5, 6)
(1, 6, 1)
(1, 6, 2)
(1, 6, 3)
(1, 6, 4)
(1, 6, 5)
(1, 6, 6)
(2, 1, 6)
(2, 6, 1)
(3, 1, 6)
(3, 6, 1)
(4, 1, 6)
(4, 6, 1)
(5, 1, 6)
(5, 6, 1)
(6, 1, 1)
(6, 1, 2)
(6, 1, 3)
(6, 1, 4)
(6, 1, 5)
(6, 1, 6)
(6, 2, 1)
(6, 3, 1)
(6, 4, 1)
(6, 5, 1)
(6, 6, 1)

回答No.6

eatern27

(1)
＞異なる３個のサイコロ
を投げているので、
＞解２　　(1)(1、1、2)と(1、2、1)などは同じ出方と考えて、
同じとは考えられず、解２は間違いだと思います。
((m,x,M)の組の総数ではなく、サイコロの目の出方の総数を聞いてるんですよね？？)

(2)
方針は解１で問題ありませんが、#3さんが仰る通り数え漏らしがあり、間違ってます。

ただ、k=1,k=5の場合については、#3さんは、過剰に数えすぎているみたいです。
答えとしては#4さんが正しいかと思います。

お礼

回答ありがとうございます！

回答No.5

sanori

誤記訂正。
しかも、最後の決め台詞まで間違えてました。
m(_ _)m

下記は、訂正後。
（途中から）

------------

しかし、
ｋ＝５の時の計算は、間違っています。
目の出方は、
1 1 6
1 2 6
1 3 6
1 4 6
1 5 6
1 6 1
1 6 2
1 6 3
1 6 4
1 6 5
1 6 6
2 1 6
2 6 1
3 1 6
3 6 1
4 1 6
4 6 1
5 1 6
5 6 1
6 1 1
6 1 2
6 1 3
6 1 4
6 1 5
6 1 6
6 2 1
6 3 1
6 4 1
6 5 1
6 6 1
計３０通り

つまり、

（ア）
１と６だけ含むものは、
組み合わせでは、1 1 6 と 1 6 6 の２通りだけで、
各々、並び替え方は３通りしかない。
だから、
２×３＝６通り

（イ）
１と６以外を含むものは
組み合わせでは
1 6 2
1 6 3
1 6 4
1 6 5
の４通りだが、これらは、それぞれ並び替え方が３！通りある。
４×３！＝２４通り

合計３０通り
だから、確率は、３０÷２１６

------------------

あと、
ｋ＝１のときは、
1 1 2　が６通り、1 2 2　が６通り　で１２通り
つまり、１と２だけのが１２通り

２と３だけのも１２通り
・・・
５と６だけのも１２通り
全部で、６０通り、
だから、６０÷２１６＝　あれれ？

結局、
ｋ＝０以外は、お二人さんとも出直し！

回答No.4

shikisaito

(1) （解2が正しく）56通り。
(2) （どちらも間違い）
　　P(k=0)= 6/216=1/36
　　P(k=1)=30/216=5/36
　　P(k=2)=48/216=8/36
　　P(k=3)=54/216=3/12
　　P(k=4)=48/216=8/36
　　P(k=5)=30/216=5/36

お礼

回答ありがとうございます！
(1)で５６通りだとすると、
(2)での分母も５６になるんじゃないですかね・・・？
Ｎo.3様の答えで納得していたのですが
また頭がこんがらがってきてしまいました（´д｀；

回答No.3

sanori

サイコロの問題で、しかも、分母に「２８」が来るということで、デジャヴュかと思いました。
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=2124272
↑さっき回答したばっか。（笑）

まず、始めに、（２）の方からコメントします。
この問題は、３つのサイコロを投げたときの確立、いえ、確率の問題なので、
確立、いえ、確率の分子を整数で表すのならば、分母は、絶対に、６の３乗（＝２１６）か、若しくは、２１６の約数になっていなければいけません。

ですから、
解２の（２）は、すでに誤りであることが分かります。

そして、
（１）の問題は、私は、どちらの考えでも正しいと思います。
（だから、出題者の不備です。）

しかし、
同じ大問の中で、（１）の結果を元に（２）を計算するのでしょうから、解１の考え方で合っています。
しかし、
ｋ＝５の時の計算は、間違っています。
目の出方は、
1 1 6
1 2 6
1 3 6
1 4 6
1 5 6
1 6 6
すでに、この時点で６通りありますが、
まだ、続きが・・・
2 1 6
2 6 1
3 1 6
3 6 1
4 1 6
4 6 1
5 1 6
5 6 1
3 1 6
3 6 1
・・・
・・・
・・・
・・・・・まだ続きを書きますか？（笑）

つまり、
「１と６とｘ」のｘは、６通り。
そして、３つの並び替えが３×２×１通り。
つまり、６×３×２×１通りですよね？

あと、
ｋ＝１のときは、
1 1 2　が６通り、1 2 2　が６通り　で１２通り
つまり、１と２だけのが１２通り

２と３だけのも１２通り
・・・
５と６だけのも１２通り
全部で、６０通り、
だから、６０÷２１６＝　あれれ？

結局、
ｋ＝１以外は、お二人さんとも出直し！

お礼

回答ありがとうございます！

(1)は出題者の不備ですか・・・（－。－；
こういう場合って採点どうなるんですかね・・・両方正解になるのかな・・・・・？
(2)はご指摘ありがとうございます（Ｔ▽Ｔ）
おっしゃる通りですね・・・出直してきます（笑）

御陰様でモヤモヤが晴れました。これでゆっくり眠れます（´▽｀）

回答No.2

shinobinomono

２つのさいころの場合、全部で36通りの出方があるのだから、この場合は解１に１票。

お礼

回答ありがとうございます。

回答No.1

tnt

これのミソは「同時に投げ」なんです。
同時に投げると言うこと、そして
サイコロはその目の数だけを問題にすること
（サイコロの色が３つ違うというような事が無い事）
この２点から、１，１，２と１，２，１は
区別のしようがありません。
単に、ころがしたときに読み上げる方向で
違うだけですから。
よって、解２が正解です。

お礼

回答ありがとうございます。