高校：因数分解の公式の使い方

質問

最近、因数分解の公式を先生に教えていただきました。とにかく覚えなければならないそうですので、なんとか覚えました。しかし、使い方が分かりません。たとえば、ａ3－ｂ3＝〈ａ－ｂ〉〈ａ2＋ａｂ＋ｂ2〉という公式を使った、因数分解のやり方などを教えてください

回答No.3

debut · ベストアンサー

因数分解すべき式をみて、公式のどの部分になるかを考えて、ときには
置き換えなども使いながら、公式にあてはめます。（３乗を ^3 とします）

例。8x^3-27y^3=(2x)^3-(3y)^3 　　　　・・・a を 2x 、b を 3y とみる
　　　　　　　=(2x-3y)((2x)^2+(2x)(3y)+(3y)^2)・・・公式にあてはめ
　　　　　　　=(2x-3y)(4x^2+6xy+9y^2)・・・計算できるところはする

例。x^3-6x^2+12x-8 これは本来は別の公式でするところですが a^3-b^3
　　　　　　　　　　の公式でやることもできて、
　　　　　　=x^3-8-6x^2+12x ・・・x^3-8 と -6x^2+12x を分けて
　　　　　　=x^3-(2)^3-6x^2+12x
　　　　　　=(x-2)(x^2+2x+2^2)-6x(x-2) ・・・それぞれを因数分解
　　　　　　=(x-2)(x^2+2x+4)-6x(x-2)
　　　　　　=(x-2){(x^2+2x+4)-6x} ・・・共通因数(x-2)でくくる
　　　　　　=(x-2)(x^2-4x+4)
　　　　　　=(x-2)(x-2)^2
　　　　　　=(x-2)^3

例。x^3-(y-2z)^3=x^3-A^3 ・・・( )の部分を１つのものAとみて置き換え
　　　　　　　　=(x-A)(x^2+xA+A^2) ・・・因数分解
　　　　　　　　=(x-(y-2z))(x^2+x(y-2z)+(y-2z)^2) ・・・A を y-2z にもどす
　　　　　　　　=(x-y+2z)(x^2+xy-2xz+y^2-4yz+4z^2) ・・・中を計算

例。x^6-y^6=(x^3)^2-(y^3)^2 ・・・xの6乗=xの3乗を2乗したものとみて
　　　　　　=(x^3+y^3)(x^3-y^3) ・・・A^2-B^2=(A+B)(A-B) の利用
　　　　　　=(x+y)(x^2-xy+y^2)(x-y)(x^2+xy+y^2) ・・・公式で
　　　　　　=(x+y)(x-y)(x^2-xy+y^2)(x^2+xy+y^2)

教科書や問題集でいろんな問題をやってみましょう。

お礼

あなたがおっしゃられた「因数分解すべき式をみて、公式のどの部分になるかを考えて、ときには
置き換えなども使いながら、公式にあてはめます」
その言葉が聞きたかったのです。これで謎が解けましたとも言い換えれます。どうもありがとうございました

回答No.2

sanori

「ａ3－ｂ3＝〈ａ－ｂ〉〈ａ2＋ａｂ＋ｂ2〉という公式を使った、因数分解のやり方などを教えてください」
というご質問の意図は、
「その公式を使う例題を出してください」
ということですか。

一番簡単なのだと
「ｘ^3の３つの立方根を求めよ。」
ｘ^3 ＝ １
ｘ^3 － １ ＝ ０
(x-1)(x^2+x+1)=0
高校１～２年ぐらいまでだと、解はｘ＝１だけ。
（x^2+x+1=0 の判別式が負になるので）

しかし、高校３年以降だと、二次方程式の解の公式を「強引」に使って、
x = 0 または x={-1+√(1-4)}/2 または x={-1-√(1-4)}
つまり、
x = 0 または x = -1/2 + (√3)/2・i または x = -1/2 - (√3)/2・i
（ｉは虚数単位）
という３つの解がある、というふうに習う。

さらに、それを
(0, 0), (-1/2, (√3)/2), (-1/2, -(√3)/2)
という、ＸＹ座標系の３点に対応させると、
あら不思議。
３点を結ぶ図形は、正三角形になり、しかも、３点は、いずれも半径１の円周上にある。
それは、どうしてでしょうか・・・？（理工系大学の３年ぐらいで習います。）

お礼

ご回答ありがとうございます

回答No.1

m234023b

a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)に代入するだけですよ☆
たとえば
x^3-8b^3なら
=(x-2y){x^2+x*(2y)+(-2y)^2}
=(x-2y)(x^2+2xy+4y^2)

という風になります。

お礼

ご回答ありがとうございます