因数分解です。

質問

a^3 + b^3 - 6ab + 8を因数分解する問題で、これを

= a^3 + b^3 + 2^3 - 3ab・2
=(a + b + 2)(a^2 + b^2 - ab - 2a - 2b + 4)

として、解くようなのですが、途中式がよく分かりません。３乗の公式を使うのですか？

分かる方。よろしくお願いします。

回答No.2

g94s66xt · ベストアンサー

使う公式は
一つ目
(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3
二つ目
a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)
の二つです。

一つ目の式から
a^3+b^3=(a+b)^3-3a^2b-3ab^2
この等しい式の左右から同じものを足しても引いても
等しいという性質を利用して次の式を作る。
a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b)^3-3a^2b-3ab^2+c^3-3abc

ここでc=2と置くと求められている式になる。
しかし　c　のままで進める。

右の式=(a+b)^3-3a^2b-3ab^2+c^3-3abc
=(a+b)^3+c^3-3a^2b-3ab^2-3abc
前の二つの項に二つ目の公式を使うと

右の式=((a+b)+c)((a+b)^2-(a+b)c+c^2)-3a^2b-3ab^2-3abc
=((a+b)+c)((a+b)^2-(a+b)c+c^2)-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)(a^2+2ab+b^2-ac-bc+c^2)-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)

お礼

a^3+b^3+c^3-3abc
=(a+b+c)*(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)
を知っているかがポイントなのですね？

公式の求め方まで詳しく書いていただきまして、ありがとうございました。

回答No.1

noname#3991

要は
a^3+b^3+c^3-3abc
=(a+b+c)*(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)

因数分解ですが
半ば公式　見たいなものになっていますので
覚えておく方がよいです。

お礼

a^3+b^3+c^3-3abc
=(a+b+c)*(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)
を知っているかがポイントなのですね？

ありがとうございました。