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Γ関数でnに1/2を代入した場合
Γ関数は、nが0ないし自然数の時に、n!と同値なことは理解できましたが、Γ関数は階乗を一般化したものという教科書の記載があったので、n=1/2の時を求めようと悪戦苦闘をしましたが、だめでした。数値が求まるのでしょうか?求まるなら、どのようにすればいいのでしょうか。
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tatsumi01 さんの言われるように,積分を実行すればよいわけですが, 質問者の peror さんの補足にありますように > 自然数の時は、部分積分を続けていけば、s!に辿り着くので、 > 同様に、この場合3/2を代入して、部分積分を駆使していたんですが、 > 値を決定できる式に辿り着けなかったんです。 となってしまいます(あれ,S=1/2 を代入?). つまり, (1) Γ(s) = ∫e^(-x)x^(s-1)dx で s=1/2 とおいたものの不定積分は初等関数では表されません. しかし,今は 0 から∞までの定積分なので, 値を求める方法はいくつかあります. 【A】 (1)で x = t^2 とおく. dx = 2t dt ですから,整理すれば (2) Γ(s) = 2 ∫{0→∞} e^(-t^2) t^(2s-1) dt です. s=1/2 とおくと,ちょうど 2s-1=0 で t^(2s-1) = 1 ですから (3) Γ(1/2) = 2 ∫{0→∞} e^(-t^2) dt となります. これは有名なガウス積分で √π になることはよく知られています. このサイトでも繰り返し質問と回答があります. 結局 (4) Γ(1/2) = √π 【B】 (1)で x = t^(1/s) とおく. dx = (1/s) t^{(1/s)-1} dt ですから,整理すると (5) Γ(s) = (1/s) ∫{0→∞} e^{-t^(1/s)} dt になります. (5)で s=1/2 とおくと(3)と同じものになります. s=1/2 としてしまうと【A】と【B】は同じ置換をしていることになりますが, s を残しておくと(2)と(5)はΓ関数に対する相異なった積分表示になります. 【A】【B】ではΓ関数の一番基本的な定義の積分表示から直接求められる 方法を紹介しました. 他にも方法はあります. 【C】Γ関数の恒等式を使う方法 Γ関数の恒等式として (6) Γ(s)Γ(1-s) = π/sin(πs) が知られています. (6)で s=1/2 とおくと,直ちに Γ(1/2) = √πが得られます. でも,(6)を導くのは多少面倒です. (4)がわかれば, (7) sΓ(s) = Γ(s+1) を使って,奇数の n に対するΓ(n/2) の値は全部求められますね.
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- atomicmolecule
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#2さんの解答で尽きていますが書かせてください。 整数の場合 部分積分でΓ(n+1)=n! を出したそうですが、その導出過程をふりかえって見てください Γ(n+1)=n Γ(n) を導出するのは部分積分で出来ますが、結局Γ(n+1)=n!*Γ(1)に帰着し、Γ(1)は積分して求めたはずです。よってΓ(x) x∈[0,1] は基本的には積分して求めるわけです。(その他の関係式から求める方法を#3、4番の方が述べています) つまり、全てのΓ(x)は部分積分によってΓ(x), x∈[0,1]を求める問題にきちゃくしますが[0,1]の値は具体的に積分を遂行する(または別な方法)しかないということです。
お礼
回答ありがとうございます。 記載していただいた事は理解できます。しかし、最終的に、例えば1/2の時積分が実際にある値に定まるかを知りたかったので、私の疑問は、その先にあったのです。
- yoikagari
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こんなやり方もあります Γ(x)Γ(y)/Γ(x+y)=Β(x,y)・・・※ を利用するやり方です。 Γ(1/2)Γ(1/2)=Γ(1)*Β(1/2,1/2)=Β(1/2,1/2) Β(1/2,1/2)はベータ関数です。 Β(1/2,1/2)=∫{0→1} t^(-1/2){(1-t)^(-1/2)}dt t=sin^2θと置換するとdt=2sinθcosθdθ ∫{0→1} t^(-1/2){(1-t)^(-1/2)}dt=2∫(sinθcosθ)^(-1)*(sinθcosθ)dθ=2∫{0→π/2}dθ=π よってΓ(1/2)=√πとなる。 あとはガンマ関数の倍数公式 Γ(x/2)Γ{(x+1)/2}=π^(1/2)Γ(x)/2^(x-1)・・・○ でx=1と置いても Γ(1/2)=√πは導けます。 因みに、siegmundさんがあげた Γ(s)Γ(1-s)=π/sin(πs)・・・△ は「相補公式」と呼ばれるものです。 ※,○,△の証明は申し訳ありませんが、解析学のテキストを見てください。
お礼
回答ありがとうございました。 とっくに大学を卒業した身で、数学をやり直しているところでして、ベータ関数は全く記憶にありません。やり直していく過程で、出くわしたら、もう一度、ここに戻って計算してみます。
- tatsumi01
- ベストアンサー率30% (976/3185)
「Γ関数は、nが0ないし自然数の時に、n!と同値なこと」を理解されたそうですが、 Γ(s) = ∫e^(-x)x^(s-1)dx (積分範囲は 0,∞) という定義から理解されたのでしょうか。 この定義で s が整数である必要がありませんが、s が整数のときは Γ(s+1) = s! と一致するわけです。したがって、上式の定義は n! の拡張と考えられます。 s = 1/2 のときも上式の積分を実行すれば良いわけです。
お礼
回答ありがとうございました。 実際に、全ての複素数で、有限回の操作で、値を決定できる積分ができるのでしょうか?私の分を超えていそうですので、複素数の場合までは手を広げないことにしますが。
補足
>s = 1/2 のときも上式の積分を実行すれば良いわけです。 そこまで、アホではありません。自然数の時は、部分積分を続けていけば、s!に辿り着くので、同様に、この場合3/2を代入して、部分積分を駆使していたんですが、値を決定できる式に辿り着けなかったんです。
- endlessriver
- ベストアンサー率31% (218/696)
解析学の本を調べましょう。
お礼
回答ありがとうございます。【A】の方法が、理解できました。【C】の方法ですが、リーマンのところで、習っていたことを思い出しましたが、当時は、なんの役に立つのか全くわかりませんでした。幸いにも(6)は、私の蔵書に証明がありました。格闘してみます。