点の回転はやはり２次元のことですか

質問

点には位置しかないならば、回転しているかどうかは分からないと思いますが、数学的にはやはり二次元が必要なのでしょうか。

回答No.7

mirumirumichiru · ベストアンサー

#1 です。

＞コンパスの針の先は回転していると思うので数学的な意味とどこか違うのかなと

それは、物理的なものの考え方だと思います。
物理的には、コンパスの針の先は 点 のように見えるし、確かに回転はしています。

厳密に言うと、物理的に言っても 点 ではないですけど…。

物理的には、「点」だと仮定した方が説明しやすいし、断定しても、不都合は感じにくいです。

ただし、数学は違います。厳密に、数学的に言う「点」は、我々は 見ることができません。常識的な世界には、存在しないものなのです。
四次元の世界を体験できないのと同じように、二次元や一次元の世界は、概念ではわかっていても 実存するのかもわかっていません。

数学的には、一次元や二次元の世界を「あるもと」として、仮定してるだけです。

極論を言うと、数学自体が、否定されてしまいます。

小学校のときに
「時速40kmで走る車 A が、12時に出発しました。その2時間後、時速60kmで走る車 B が追いかけました。何分後に追いつくでしょう。ただし、途中、信号などで止まったりしないものと仮定して計算すること。」

なんて、問題がありました。じゃぁ、信号はなかったことにしてあげてもいいけど、車 AもBも アクセル踏んだらすぐに時速40kmや60kmがでるのか？ とか、あらを探せばいくらでも 物理的な疑問が出てきます。

コンパスの針の先は、都合上 日常的には「点」としてますが、実際の物理学的には、あきらかに「面」です。このさき技術が進み、コンパスの針をどんどん細く出来るようになったとして、「点」にできたとしたら、その時点で、そのコンパスは、長さが無限大になります。宇宙の大きさよりも大きなコンパスになってしまいます。

数学は、どこかで、わりきって付き合わないと、答えが出ないことがあります。
私は、間違っても、数学そのものを否定してるわけではありません。数学関係者の方、数学好きの方が見ていて、気分を害されたならすみません。

お礼

理論と感覚の話を思い出しました。電子を点と考えると何かが無限大に発散してしまうというのは、関係があることなのでしょうね。どうもありがとうございました。

回答No.6

maekawadesu

「回転」という現象を考えるには、それがどちらを向いているかという「向き」という情報が必要になるかと思います。そのため、点としての「位置」と「向き」の２次元以上が必要になると思われます。

コンパスでは針と紙面の接点が回転しているというより、やはりコンパスの一部である針が回転している、もしくは、それに引きずられる（向きの変化に影響をうけた）紙面からその回転を知ることが出来ると考えると、やはり２次元が必要になると思います。

お礼

点としても回転を考える場合には２次元が必要であるということですね。どうもありがとうございました。電子のスピンを連想しました

回答No.5

ency

No4 ency です。

> コンパスの針の先は回転していると思うので数学的な意味とどこか違うのかな
> と思ったりしています。

確かにそのように考えると、russy1さんのおっしゃるとおり点も回転することになりますね。
# 針の先が厳密に「点」なのかどうかは、本質とは関係ないので、ここでは
# おいておくことにします。

私の説明のしかたが悪かったのだと思います。

物理的に考えてみると、ちょっと分かりやすいかもしれません。

物体が回転する場合、その物体は回転による運動エネルギーを持つことになります。
このエネルギーは回転速度の2乗に比例して大きくなり、回転半径の2乗に比例して大きくなります。
ここで、回転速度を０にしてみると回転による運動エネルギーは０になります。
また、回転半径を０にしてみると、やはり回転による運動エネルギーは０になります。

このように点に関する回転を考える場合、回転していない状態と等価になってしまうのです。
言い換えれば、「点は回転しない」というよりは「点は回転してもそれを回転としてみることができない」ということになるでしょうか。

以上の説明は物理的な話ですが、数学的にも大雑把に言えば同じようなことが言えると思います。

要するに「点は回転を考えることができない」んです。
考えることができないことを「回転しない」として扱ってしまうことが多いため、No4 のような回答になってしまいました。

わかりにくくて、申し訳ありませんでした。

とりあえずは、こんな感じでいかがでしょうか。

お礼

どうもありがとうございました。点は回転しないのではなく、回転と点は結びつかないということでしょうか。

回答No.4

ency

No1 mirumirumichiruさんの回答にもあるとおり、点は回転しません。

「回転」を考えるには、回転半径を定義する必要があります。
# No2 sanoriさんの回答にある r が回転半径になります。

点が自身で回転することを考える場合、回転半径は０として扱うしかありません。
しかし、回転半径０と回転していないことは区別できないんです。
区別できないものを考えることはできないため、「回転しない」としかいえないのです。

仮に、点が回転していると考えた場合、回転半径０なわけですから次元は必要ないでしょう。
回転半径が０である時点で、広さ (二次元的な見方) を考える必要もありませんし、そもそも広さも大きさもない点が存在するだけであれば、次元は必要ないわけですし。。。

ただし、繰り返しになりますが、回転半径０なのでその状態は「回転」とは呼べません。
ただ「そこ」にじっと「たたずんでいる」のと何らかわりはありません。

いわゆる円運動のような形で、ある回転半径を持って点が運動する場合には、当然「二次元」必要になりますよね。

お礼

丁寧にご説明いただき有難うございました。なるほどと思おうとしていますが、コンパスの針の先は回転していると思うので数学的な意味とどこか違うのかなと思ったりしています。す。。

回答No.3

N64

そのとおりですねー。
でも、位置を表すためには、『二次元が必要』なのでしょう？

お礼

そもそも点でも回転の位置を示す為には二次元が必要になるわけですね。

回答No.2

sanori

長さや面積（や体積）のあるものが回転を表すには、二次元以上が必要なのは明らかですが、

点の回転を表すにも、絶対二次元が必要です。
ＸＹ座標（ｘ、ｙ）は、必ず極座標（ｒ、θ）に変換できますが、
たとえ半径ｒがゼロであっても、回転は、時間ｔの関数θ（ｔ）です。

意味のある例として私がぱっとイメージできるのでは、例えば、
「無限に小さい磁気双極子」
　（＝無限に細かくした棒磁石）
マクスウェル方程式の電磁気学であれば、使える概念です。

お礼

時間の関数というご教示は何かありがたい感じがします。またマクウェル方程式の理解にもつながるわけですね。ありがとうございました。

回答No.1

mirumirumichiru

「点の回転」というのは、点 自身が その場で グルグル回転するということですよね？

点は、回転できないし、

＞回転しているかどうかは分からないと思いますが、

　…とありますが、分からないのではなくて、点は 回転しません。

回転 というのは 二次元的な回転なのか、三次元的な回転なのかわかりませんが、「回転」した時点で、最低でも一次元ではなくなっているはずです。

数学的には、回転するには 二次元が必要だと思います。

お礼

ご教示有難うございます。コンパスの針の先のようなものを考えていたものですから。勉強させていただきます。