方程式の問題

質問

兄は自転車を使ってＡ町から８キロ離れたＢ町まで毎時１2キロの速さで行き、そこで休憩したのち行きと同じ道を毎時16キロの速さで戻ったところ、Ａ町を出発してから1時間30分かかった。
弟は、兄がＡ町を出発すると同時に、兄が通る道と同じ道をＢ町からＡ町へ毎時４キロの速さで徒歩でむかった。兄が追いつくのは２人が最初に出会ってから何分後か。ただし、弟は途中で休まないものとする。

こたえが５０分後ですが過程がわかりません。最初に出会った時間までは解けたのですが・・・。

回答No.4

nozomi500 · ベストアンサー

この手の問題は、高校入試などでよくあります。
この問題に限らず、まずは、グラフ（縦に距離、横に時間をとった、ダイヤグラムみたいな）をかいてみるのが秘訣ですね。「動き」（等速度）は「ｙ＝aｘ+ｂ」の一次関数で表わされます。

兄は最初、「0」から、「右上がり」の直線（ｙ＝１２ｘ）、ついで、休憩中は水平線（ｙ＝８）、ついで、右下がり（ｙ＝-16ｘ+ｂ）。
弟は、やはり「右下がり」（ｙ＝-４ｘ+８）。
（なお、時間の単位は「時」。距離の単位は「ｋｍ」）

「追いつく」のは、２つの「右下がり」直線が交差する場所だから、その時間（ｘ）について、「連立」させて解いたらいい。
※親切に「追いつく」と書いてくれているから、「右下がり」の部分だけ考えればいいわけですね。水平部分は無視。

したがって、兄の「右下がり」の「ｂ」を求めればいい。
ｙ＝-16ｘ+ｂが、「１時間３０分後に出発点に戻る」のならば、「ｘ＝1.5　、ｙ＝0」を代入すれば、ｂ＝24ですね。

つまり、ｙ＝-16ｘ+２４（兄）と、ｙ＝-4ｘ+８（弟）が、同じ（ｘ、ｙ）であるところを探す。連立方程式にすれば、ｘ＝4/3　つまり８０分後。

また、最初に出会うのは、簡単に、ｙ＝12ｘ（兄）とｙ＝-4ｘ+８（弟）の連立で出ますね。ｙ＝1/2　つまり３０分後。この間５０分。

お礼

ありがとうございます！
問題集の解説と同じ内容だけどそこからさらに詳しく説明して下さっててよくわかりました！

回答No.3

Islay

兄のＡ→Ｂ間の時間（ｔ1）
ｔ1＝８／１２
　　＝２／３
　　＝４０分

兄のＢ→Ａ間の時間（ｔ2）
ｔ2＝８／１６
　　＝３０分

休憩時間
　１時間３０分－４０分－３０分
＝２０分

最初に出会う時間（ｔ3）
８＝１２ｔ3＋４ｔ3
ｔ3＝１／２
　 ＝３０分

次に出会う時間（ｔ4）
ここからが問題ですね。
簡単に考えましょう。「兄が引き返す」と考えるからややこしくなるのです。
ｔ1、休憩時間がもうすでに求められていますので、
「兄が弟に１時間ハンデをやってＢ→Ａ間を競争した」
と考えればわかりやすいのではないでしょうか。
４ｔ4＝１６（ｔ4－１）
　ｔ4＝４／３
　　 ＝８０分

これでわかりますね。

お礼

わかりやすいです！
難しく考えすぎてたみたいです・・・。(@_@)

回答No.2

chukanshi

ます兄は、行きにB町まで４０分かかり、帰りはA町まで３０分で帰ります。B町での休憩時間は２０分です。
弟は、B町からA町まで、１２０分かかります。

さて、兄と弟が最初に出会うのは、
８キロ÷（１２＋４）キロ/時＝３０分ですね。
兄がA町を出てから３０分後に弟と会います。

その後です。兄はあと１０分かけてB町までいき、２０分休憩します。
弟は、この間、（３０分＋３０分）×４キロ/時＝４キロ
B町から離れたところにいます。
これを兄がB町から追いかけます。そうすると、
４キロ÷（１６キロ/時―４キロ/時）＝２０分で弟に追い付きます。

すなわち、最初にであってから、
１０分＋２０分＋２０分＝５０分
つまり５０分後に追い付きます。

お礼

ありがとうございます！
式がついててわかりやすいです！

回答No.1

tamagawa49

兄はA町→B町(40分)、B町休憩(20分)、B町→A町(30分)という行程だと思います。
従って最初に弟と出会うのは30分後にA町から6kmの場所です。兄は休憩後、B町を出発するのが最初から考えると60分後ですから、引き算をすれば弟と会ってから30分後にB町を出発することになります。
一方、弟はB町から2km地点で兄と会っているので、さらに30分後はB町から4km地点にいます。
弟は時速4km、兄は時速16kmでA町に向かうので、2人の速度差は12kmですから20分後に距離4kmを追いつくことになります。
問題文は最初に兄弟が出会ってから何分後？ということなので30+20=50分です。

上のように兄がB町をスタートする時点から考えれば簡単かと思います。
B町をスタートする前に追いつくことは有り得ませんから。

ということで参考になりましたか。

お礼

ありがとうございます！
参考になりました！とっても詳しくて助かりました。