中学受験生を持つ母です。速さと比の問題を教えてください。

質問

中学受験生を持つ母です。速さと比の問題を教えてください。
　問　兄と弟が、それぞれA町を出発して４８kmはなれたB町へ向かい、B町につくとすぐにA町に引き返します
　　　兄は弟より１０分遅れて出発し、B町まであと６kmのところで弟を追い越しました。兄がA町に戻った時
　　　弟はA町まであと２４kmのところにいました。兄が弟を追い越したのは兄が出発してから何分後ですか？

　２時間格闘しましたが、手も足も出ません。よろしくお願いします。

回答No.4

nag0720 · ベストアンサー

兄と弟は、B町まであと6kmのところでいっしょになって、そこから同じ時間で兄は(6+48)km、弟は(6+24)km走ったのだから、
兄と弟の速度比は、54：30＝9：5です。

兄が弟を(48-6)km地点で追い越したということは、弟は42×4/9=56/3kmを10分で走ったことになります。
よって、弟の速度は、56/30(km/分)、兄の速度は、56/30×9/5＝84/25(km/分)
兄が出発してから弟を追い越したのは、兄が42km走った時間なので、
42/(84/25)=12.5分

お礼

回答ありがとうございます。主人も解けず、参考書をみてもわからず、困り果てていました。こんなに簡単に解けるとは思ってもいませんでした。さっそく子供に教えます。本当にありがとうございました。助かりました。

回答No.6

B-juggler

ちょっと混乱してますね。どうもおかしいですよ。
落ち着いて考えましょう♪　代数学という大学の数学の非常勤です。

図をつけてみました。
図１のように、行って戻ってくるわけですから、直線にしてしまったほうが早いですね♪
　＃図２にしています。

さて、追い越した場所が私の絵であっているのなら、ちょっと答えが皆さんと違うかと思います。

速度を考えて見ましょう。
弟が追いつかれるまでにＫ分かかったとしておきましょうか。（これは何でもいいんです）

弟：（４８－６）＝３２ｋｍを　Ｋ分かかったので、　３２／Ｋ　「ｋｍ／分」
兄：１０分遅くスタートしたんですね。　３２ｋｍを　（Ｋ－１０）分　
　　なので　３２／（Ｋ－１０）　「ｋｍ／分」

あとは　Ｋ　が消えればいいだけの話です　ヾ（＠⌒ー⌒＠）ノ

そのためにもう一つヒントが出ていますね♪

このままの速度で走ったときに、　弟が　（４８＋４８）－２４＝７２　「ｋｍ」
兄は　（４８＋４８）＝９６　「ｋｍ」　走っているわけですね。

速度と距離が出ましたから、時間は出ますね。

　＃分かりにくいときには、単位を考えられると楽に行けるかもしれません

弟：　７２「ｋｍ」÷３２／Ｋ「ｋｍ／分」　整理すると、９Ｋ／４「分」(1)

兄：　９６「ｋｍ」÷３２／（Ｋ－１０）「ｋｍ／分」
　　　　　　　　　同じく整理をしまして、３（Ｋ－１０）　「分」(2)
と出ました。

(1)と(2)は　同じ時間ですから

９Ｋ／４＝３（Ｋ－１０）　これを整理して、Ｋ＝４０　「分」かな？

この時間Ｋ（４０分）は、弟が兄に追いつかれた時間なので、
　＃兄が１０分遅れてスタートしていますので・・・。

兄が出発してから何分後？　と言う問いですから、１０分を引くのを忘れずに。

３０分が答えになりますね。

計算ミスがあるかもしれません。ちょっと確認してくださいね。

こういう問題のコツは、たくさん記号を使わないこと。
分かりやすく図を作ってみること、必ず解けるようにできているはずですから
落ち着いて、方針を先に立ててみることが大事かもしれません。
　＃数学全般がそうですけれど＾＾；

回答No.5

magicalpass

比ではなく方程式で考えてしまったので、適当に解釈し直してください。

弟の速さをx、兄の速さをyとします。
まず、兄が弟に追いついた時間を考えます。B町より6km手前ですからA町から(48-6)で42kmの距離です。
「距離」は「速さ×時間」ですので、弟の出発からの時間をt1とすると、
　　x × t1 = 42
一方、兄は10分後に出発してますから
　　y × (t1 - 10) = 42
この２式の指すt1は等しいので
　　(42 / x) = (42 / y) + 10 ……【α】

次に兄がA町に戻った時間を考えます。弟は24km手前なので(48+48-24)で72km進んでいます。
弟の出発からの時間をt2とすると
　　x × t2 = 72
兄は往復したので(48+48)で96kmですから
　　y × (t2 - 10) = 96
同様にt2は等しいので
　　(72 / x) = (96 / y) + 10 ……【β】

【α】と【β】の２式からx,yが求まりますので、そこからt1を求め、(t1 - 10)が求める答えになります。

　計算したら、y = (9/5)× x、t1 = 22.5なので、求める答えは12.5分になります。

お礼

回答ありがとうございます。子供も主人も解けず、参考書をみてもわからず、困っていました。本当にありがとうございました。

回答No.3

halcyon626

１９の大学生です。
現在仮面浪人生をしています。

私の回答を書きます。
まず、兄の速さをＡ、弟の速さをＢ、そして兄が弟に追いつくのにかかった時間、つまり兄が出発してから弟に追いつくまでの時間をＴ、また兄が往復して戻ってきた時にかかった時間をＳとします。
まず、兄が弟に追いついた時の距離は問題文から４２kｍなので、
(兄の速さ)×(かかった時間)＝４２より、
Ａ×Ｔ＝４２・・・(1)
また、この時の弟の移動下距離も４２kｍなので、
Ｂ×(Ｔ＋１０)＝４２・・・(2)

弟は兄よりも１０分早く出発してるので、＋１０分、時間が多くなります。

さて、次に往復してきたときですが、
兄が９６kｍ移動した時、
(兄の速さ)×(かかった時間)＝９６より、
Ａ×Ｓ＝９６・・・(3)
また兄が戻った時、弟は問題文より７２kｍ移動しているので、
Ｂ×(Ｓ＋１０)＝７２・・・(4)

ここでも、弟は兄よりも１０分早く出発あいてるので、＋１０分、時間が多くなります。

そして、ここで求めるのは弟に追いつくのにかかった時間であり、速さは関係ないので、代入して消していきます。
Ａについて、
(1)より、Ａ＝４２/Ｔ
(3)より、Ａ＝９６/Ｓ
この二式はどちらもＡ＝なので、同じ値です。
右辺を＝でつなぐと、
４２/Ｔ＝９６/Ｓ
４２×Ｓ＝９６×Ｔ
７×Ｓ＝１６×Ｔ・・・(5)
次にＢについて、
(2)より、Ｂ＝４２/(Ｔ＋１０)
(4)より、Ｂ＝７２/(Ｓ＋１０)
さっきと同様、Ｂ＝なので、右辺を＝でつなぐと、
４２/(Ｔ＋１０)＝７２/(Ｓ＋１０)
４２×(Ｓ＋１０)＝７２×(Ｔ＋１０)
４２Ｓ－７２Ｔ＝７２０－４２０＝３００
７Ｓ－１２Ｔ＝５０
ここで(5)より、Ｓ＝(１６/７)×Ｔ
これを代入すると、
１６Ｔ－１２Ｔ＝５０
４Ｔ＝５０
Ｔ＝２５/２

よって、兄が弟を追い越した(追いついた)のは兄が出発してから、２５/２分後になります。
代数を用いていますが、何を代数に置き直したか忘れないよう気をつけてください。
代数が多い時は、＝の関係で計算をし、なるべく文字を減らしていくと答えがでます。

速さの式については分かりますよね？
速さ＝距離/時間(km/h＝km/h)、距離＝速さ×時間(km＝km/h×h)、時間＝距離/速さ(h＝km/(km/h))
というように時間と距離、速さの関係から、うまく使えないといけません。
反面、今の段階ではこのくらいしか公式がないので、自由に使えるようになると非常に有利です。

私の回答は以上になります。
一応確かめ算もしましたので、参考にしてください。

お礼

回答ありがとうございます。今までこんな問題が存在すること自体知らずにきました。子供も主人もちんぷんかんぷんで、わらにもすがる思いで質問させていただきました。ありがとうございました。受験がんばって下さい。私たちも合格を勝ち取るようかんばります。

回答No.2

DIooggooID

下記のように図示します。
　　　Ａ：Ａ町
　　　Ｂ：Ｂ町
　　　Ｃ：追い越し地点
　　　Ｄ：弟のいる地点

Ａ　　　　　　Ｃ　　Ｂ　　　　　Ｄ　　　　Ａ
・－－－－－－・－－・－－－－－・－－－－・
　　　４２　　　　６　　　２４

　今、Ｃ（追い越し地点）をスタート地点とします。
　　　　※兄弟がそろっている為。
　兄がＡ町に戻ったときの、Ｃから兄弟が進んだ道のりを考えると、

　　　兄は、　６　＋　４８　＝　５４
　　　弟は、　６　＋　（　４８　－　２４　）　＝　３０

　この結果から、　兄弟の速さの比は　５４：３０　＝　９：５

　最初の　４２km　進む時間には　１０分の差がありました。

　　　　　４２／９　－　４２／５　＝　
　　　　　　　※４５で通分して計算すると、・・・
　　　　　　　　　１６８／４５　　これが　１０分です。

　兄が　追い越し地点に行くまでの時間は、　４２／９　ですから、

　　　　　　　分母をそろえると、　　　　２１０／４５　　です。

　　　　　　　　１６８／４５　：　２１０／４５　＝　１０　：　□

　　　　　　　　１６８　：　２１０　＝　１０　：　□

　　　　　　　　比例式の関係から、　□は、　１２．５　分となります。

お礼

回答ありがとうございます。主人も解けず、参考書をみてもわからず、困りはてていました。丁寧に書いてくださり本当にありがとうございました。助かりました。

回答No.1

pasocom

兄と弟の速度の比を考えてみます。
「兄がA町に戻った時、弟はA町まであと２４kmのところにいました。」です。「Ａ町に戻った」ということは兄は往復で９６ｋｍ歩いたのです。一方、弟はこの時２４ｋｍ手前にいたのですから、同じ時間で７２ｋｍ歩いています。（９６－２４＝７２）。
ですから兄の速度は、弟に比べて９６/７２＝４/３　です。
問題文に戻って、「兄は弟より１０分遅れて出発し、B町まであと６kmのところで弟を追い越し。」ということから、兄が弟を追い越した地点はＡ町（出発点）から４２ｋｍのところですね。（４８－６＝４２）。
４２ｋｍの地点に行くのに、兄と弟で所要時間が１０分違っているのです。
兄の方が速度が弟の４/３ですから、所要時間は逆に弟の３/４しかかからないはずです。（ここがキモかも。速度の比と所要時間の比は逆になるのです）
従って、兄の所要時間と弟の所要時間の差＝１/４。（弟の所要時間を基準として）。これが１０分です。よって弟の所要時間は４倍で４０分。兄はこれの３/４（または、これより１０分少なく）３０分です。

お礼

回答ありがとうございます。主人も解けず、参考書をみてもわからず、困り果てていました。ご親切にありがとうございました。