平面図形の問題（センター過去問）

質問

△ABCにおいて、∠Aは鈍角で、∠B=30°である。点Cから直線ABに引いた垂線と直線ABとの交点をHとする。辺BCの中点をMとして、直線ACは三点ABMを通る円と点Aで接しているとする。（点Hの位置は円の内部ではなく、線分BAの延長上にある。
以下問題が続く（求められたのは∠AMB=45°）
）（センター本試験2005年）

ACとHMの交点をK,直線BKとHCの交点をLとする。△HBKと△BCKの面積比はHL:LCである。

この面積比はどのようにして求められたのでしょうか？
二つの面積は△HBCから△HKCを切り取ったものであることに注目するのかな…？
と思うのですが全くわかりません。
よろしくお願いします。

回答No.1

debut · ベストアンサー

ＨとＣ から直線ＢＫに垂線ＨＸ，Ｃ Ｙを引いてみれば
△ＨＸＬ∽△Ｃ ＹＬ(２組の角がそれぞれ等しい）なので、
ＨＸ：Ｃ Ｙ＝ＨＬ：ＬＣです。
一方、△ＨＢＫと△ＢＣ Ｋの底辺を共通なＢＫとみれば
それぞれの三角形の高さがＨＸとＣ Ｙになります。
よって、２つの三角形の面積比はＨＸ：Ｃ Ｙ、つまり
ＨＬ：ＬＣになります。

お礼

ありがとうございます。
大変よくわかりました。