確率の問題です

質問

三つの紙があり、Aさんがどれか一つに印をつけてすべてを伏せておきます。
まずBさんが一つのカードを選びます。
そして残った二枚のカードをAさんのものとします。
このときAさんのカードに印の付いたものがある確立は3分の2。
このときBさんのカードに印の付いたものがある確立は3分の1となるはずです。
Aさんが手持ちの二枚のカードのうち印の付いていないほうのカードをあけます。
これでAさんが持っているあけていない1枚のカードに印が付いている確率が3分の2。Bさんが持っているカードに印が付いている確率が3分の1となります。

というのをどこかで見た記憶があるのですが、結論がおかしいような気がするのですがどこからが間違っているのでしょうか。

回答No.1

sanori · ベストアンサー

このときAさんのカードに印の付いたものがある確立は3分の2。
このときBさんのカードに印の付いたものがある確立は3分の1となるはずです。
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↑ここまでは疑いようも無く正しいですね。

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Aさんが手持ちの二枚のカードのうち印の付いていないほうのカードをあけます。
これでAさんが持っているあけていない1枚のカードに印が付いている確率が3分の2。
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↑ここが問題ですか？

ここは、２つに分岐させて考えましょう。

（１）
「Ａさんの２枚の中に印のカードがある場合」
Ａさんが「意志を持って」、必ず印ありを伏せて、印無しの方を開けるので、確率は１（１００％）。
したがって、前段の確率（２／３）と掛けて
２／３×１

（２）
「Ａさんの２枚の中に印のカードが無い場合」
Ａさんの２枚は、どちらも印無しなので、印無しを開けて印ありを伏せる確率は、２／２。
Ａさんが伏せたままのカードが、印有りである確率はゼロなので
２／２×０
これに前段の確率（２／３）と掛けて
２／３×２／２×０

したがって、最終的にＢさんの手持ちが印有りである確率は

２／３×１　＋　２／３×２／２×０
＝　２／３　＋　０
＝　２／３

どうでしょうか。

なお、Ａさんが呆けてミスをすると、（１）のところの確率は減少しますけど。（笑）

回答No.5

sanori

要注意。

Ａさんが開けたカードが無印という条件のもと、
残る２枚を１枚ずつ持ちあった最終的な状態を考えますと、一見、Ａさんの残りの手持ちとＢさんの手持ちとで、印有りの確率は１／２ずつと勘違いしそうですが、

それは、あらかじめ３枚の中から意志を持って誰かが無印の１枚引き抜いて２枚にしてから、その、残る２枚のうち１枚をＢさんに選ばせた確率になります。

お礼

やはりよく考えたらわかりました。
ありがとうございました。

補足

では　Ａさんが持っているカードをＸ、Ｙとすれば
Ｘが印ありの確率3分の1
Ｙが印ありの確率3分の1
Ｂさんのカードが印ありの確率3分の1

でＸかＹの可能性が消えるわけですからＡさんとＢさんに残ったカードが印ありの確率は同じになるのではないのですか？

回答No.4

heisenberg

間違っているのは
「これでＡさんが持っている・・・・３分の１となります。」
のところです。

Aさんが持っていたカード２枚のうち
無印のカードを開けたわけですから
印は残った２枚のどれかに付いているはずです。
つまり　Aさんの残った１枚に付いているか
Bさんの持っている１枚に付いているか・・・。

これで
印が付いているのか　付いていないのかの
判断の対象となるカードは２枚に絞られたわけですから
Aさんんが持っている
開けていないカードに印が付いている確率は２分の１
Bさんが持っているカードに印が付いている確率も２分の１

そういうことだと思います。

回答No.3

sanori

もう１個誤字。

誤　印無しを開けて印ありを伏せる確率は、２／２。
　　↓
正　印無しを開けて印無しを伏せる確率は、２／２。

だめだこりゃ

回答No.2

sanori

私の文章で誤字見つけました。訂正します。

誤　最終的にＢさんの
　　　↓
正　最終的にＡさんの