誰かやってください（ビブンセキブン～いい気分～）

質問

極限値の問題です。

lim｛(x)^x-(sinx)^x)/(x^3)
x→+0

というものです。身近な知り合い３名ほどにやってもらいましたが、お手上げでした。答えは1/6になるそうです。ロピタルの定理、テーラー展開など考えられるものやってみましたが・・・修行不足かな？

サイエンス社　サイエンスライブラリ理工系の数学2”改訂微分積分”州之内治男/和田淳蔵共著、改訂11版、P２１　からの出展です。
往年の名著だし、改訂されているから、出題ミスということはないとは思いますが・・・

ちなみに
lim｛x-sinx)/(x^3)＝1/6
x→+0
という類似問題を他の本で見ましたがこれは大丈夫です。

回答No.1

siegmund · ベストアンサー

分子を x^3 のオーダーまで求めればよいわけです．

x→0 のとき
sin x = x -(1/6)x^3 + O(x^5)
ですから
(1)　log (sin x)^x
　　　= x log (sin x)
　　　= x log {x-(1/6)x^3 + O(x^5)}
　　　= x log x + x log {1-(1/6)x^2 + O(x^4)}
　　　= x log x - (1/6)x^3 + O(x^5)
したがって
(2)　(sin x)^x
　　　= exp{x log x -(1/6)x^3 + O(x^5)}
　　　= x^x {1-(1/6)x^3 + O(x^5)}
これから
分子 = x^x {(1/6)x^3 + O(x^5)}
x^3 はちょうど分母と消え，x^x→1 だから
極限値＝1/6

使っているのは，ロピタルの定理、テーラー展開くらいです．

お礼

わーい。ありがとうございました。こころのモヤモヤが消えました。
きれいな回答でわかりやすかったです。ロピタルの定理だけだと死にましたし、私はX^Xと(sinX)^Xを普通にテーラー展開していました。なるほど、一旦対数を取るのですか。思いつきませんでした。