やじろべい

質問

左右が同じ長さのやじろべいの2本のうでの角度をかえると揺れ方がかわりますが、
腕の角度が大きいほど、ゆっくりと揺れて、
角度が小さいほど、速く揺れます。
それはどうしてですか？

私は、やじろべいを1つのふりことしてみた場合に、
角度が大きいほうが、支点から重心までの距離が短いので、周期は速くなるのかな？と思ったのですが、実際には違いました…
これは、某中学校の入試問題にあったのですが、
その答えはまちまちで困っています。
お願いいたします。

回答No.6

Teleskope · ベストアンサー

>>　これをどうやって子どもに理論的に教えようかと思うと、難しいですね。
実物を見せて、でしょ？しかないのが寂しいです。 <<

　作図で、というわけには行きませんか。試みに「腕を回す力」を紙に作図してみました、三角定規や分度器を使ったの本当に久しぶりでしたがｗ

諸元
開き角度；　鉛直から左右各20度と、各70度の２通り。
振れ角度；　10度。（つまり狭い方は左が10度、右が30度。広い方は左が60度、右が80度。）
腕の長さ；　10cm（分度器の半径です）。
重りの力 F；　長さ20mmで作図。（常に真っ直ぐ下向きの矢印。）

　重りの F の、腕に直角な成分の長さを測った結果は、

開き角が広い場合
70+10度が 19mm
70-10度が 17.5mm　　その差が有効トルク 1.5mm

開き角が狭い場合
20+10度が 10mm
20-10度が 3.5mm　　その差が有効トルク 6.5mm

ということで、狭い方が4倍ほど大きいです。それだけ素早く動くことに。

　これは振り子と同じ
　　左側 F1 = FsinA
　　右側 F2 = FsinB
のサイン関数の性質そのままなんですね、
http://www.cs.dartmouth.edu/~rockmore/cc12/our-first-sin.gif
90度に近いほど頭打ちで変化が少ない → だからちょっと振らせた差が小さい → これだけの話ですね。
生徒はサインカーブの図を見たとたん思考停止だと思いますがｗ

　参考
　　＿＿P＿＿＿
　　　　　|＼
　　　　　|　 ＼
　　　　　Q　　 ＼
　　　　　|　　　　 ＼
　　　　　|　　　　　　●
　　　　　|　　　　　　│
　　　　　|　　　　　　↓F

　Fの先端から腕に平行な線を引くには、Ｆの長さが20mmなら、支点Pから20mmm下がったQに向けて線を引けば正確な並行ですね。あとはFの根本に三角定規の直角を当てて腕と直角の線を引いて、平行線の交点までの長さを測りました。　角度10度の成分がひどく小さいのが目でよくわかります。

（支点は糸で吊る方がお薦めと思います、指で支える支点だと、棒と有効腕が一致しないので視覚的にややこしくなってしまいますね。）

　参考までにネット上でできる関数電卓があります。
http://www.google.com/search?hl=en&lr=&q=20*sin%2870+degree%29%3D

お礼

本当に丁寧にありがとうございます。
早速考えてみます。
中学受験は、経験から答えさせたいのか、それとも理論的にわかっていてほしいのか、いまいち曖昧で、
こんなことで、理科が好きな子が育つのか、疑問です。
でも、子どもは大人より柔軟に考えているようで、答えがわかればそれで納得という子もおおいのですが。
ありがとうございました。

回答No.7

Teleskope

あらら、関数電卓のリンクが途切れてますね、全体をコピペでお願いします。

回答No.5

Teleskope

いけない、マイナス符号が余計でした；

F2－F1 = F(sinB－sinA)
=2F( cos((B＋A)/2)・sin((B－A)/2) )
=2F( cos(開き角度)・sin(バランスずれた分の角度) )
です。

回答No.4

Teleskope

>>　腕の角度が大きいほどゆっくりと揺れて、角度が小さいほど速く揺れます。 <<

　初等的な「力の分解」の話ですよ。
http://www.suginokohoikukai.com/toy/yajiro/yajiro_img/top00.jpg
支えは指でも糸で吊りでもいいですね、「角度」をどこにするか 質問文に合わせて下図のようにします。

　　　　　吊り下げ
　　　　　　 |
　　　　　／|＼
　　　 ／Ａ | Ｂ＼
　　／角度|角度＼
　●　　　　　　　　●
　 |＼　　　　　　 ／|
　 |　F1　　　　F2　 |
　F　　　　　　　　　 F

腕を回転させる力は 腕と直角な成分ですよね。（これは振り子と同じ考えです）。
　　左側 F1 = FsinA
　　右側 F2 = FsinB
サインは角度が大きいほど関数値が大きいから『 開きの角が大きいほど分力が大きい 』と読めます。重りの質量は変えないのだから、力が大きければ動きも速いのでは？？？（笑）

　ところが；
図の左 A が下がったとすれば、角度は A＜B、サインは角度が大きいほど関数値も大きいいから　FsinA＜FsinB つまり F2 の力が強い＝復元させる方向の力ですね、これは現実と合ってますよね。
で、
その力の「差」が質量を動かしますよね。←これが肝。
F2－F1 = F(sinB－sinA)
=－2F( cos((B＋A)/2)・sin((B－A)/2) )
=－2F( cos(開き角度)・sin(バランスずれた分の角度) )
です。

開き角度に関してはコサインで効いてる。御存知のようにコサイン関数の値は、
http://www.cs.dartmouth.edu/~rockmore/cc12/our-first-cos.gif
90度以下なら角度が小さいほど大きいですから、開き角度が小さいほど、式の第一項は大きい → 力が大きい → 質量が速く動く。

　中学入試でこの三角公式ですか（笑）　定性的な思考だけだと、前半で止まって 逆の解釈 になるんでしょうね。

お礼

ありがとうございました。
私自身にとっては、ふむふむなるほど…ですが、
これを、どうやって子どもに理論的に教えようかと思うと、難しいですね。
実物を見せて、でしょ？しかないのが寂しいです。

回答No.3

he-goshite-

やじろべいを単振子と考えるから分からなくなるのです。やじろべいは「物理振子」です。たとえば，
http://www.hoku-iryo-u.ac.jp/~onomasat/KOUGI/kiso-phy(04)/NO-11.pdf

別の説明：
１．単振子の場合は振子が揺れて中心からずれると，おもりに掛かる重力で中心に引き戻されます。（やじろべいの腕の角度が小さい場合はこれに近い現象です）が，
やじろべいの腕の角度が大きい場合は，二つのおもりはほとんど上下に動くだけなので，重力による元に戻す効き目（力）が弱くなります。あるいは重力による左右回転のバランスがとれた状態に近いことになります。

２．やじろべいの支点を棒の先のポイントではなく回転軸の穴または回転軸だとしてみましょう。
左右２個のおもり同士の角度を大きくしていくと，回転中心と重心との距離がだんだん小さくなって，重心は中心の穴（または軸）に近づきます。重心が中心に一致した場合にはもはや振動の周期は無限大のバランスの取れた回転体になってしまいます。
その近くでは，回転周期（すなわち振子の振動周期）はかなり長いということです。

参考URL：

http://www.hoku-iryo-u.ac.jp/~onomasat/KOUGI/kiso-phy(04)/NO-11.pdf

お礼

ありがとうございます。
簡単に説明できればと思いますので、もう一度、自分でも考えて見ます。

回答No.2

pyon1956

重心の考え方が間違っています。（断言）
やじろべいは支点の両側におもりがあるのですから、運動のしかたはモーメントで考えなければいけません。つまり二つのおもりの平均というか、やじろべい自体の重心を考えるからおかしいのです。そうではなく、それぞれのおもりの重心を考えるのです。二つのおもりの運動方向に注意して下さい。反対向きですね。こういう場合のおもりの運動に対して、やじろべい全体の運動を考えるのは不当です。
たとえば扇風機がまわっても、扇風機の羽根の重心は動いていません。これは別のものです。
まあ小学生にとってはこれはたんなる経験則ですが。

補足

ありがとうございました。やじろべいは2つの振り子と考えなければならないのですね…。いろいろな形の振り子があると思うのですが、その一種だと思って、考えてしまっていました。ありがとうございます。

中学入試ではモーメントも考えるのですが、とても単純なもので、やじろべいそのものの重心を考えしましました。2つのおもりそれそれぞれについて考えなければならないのですね。ありがとうございます。勉強になりました。

回答No.1

パんだ パンだ（@Josquin）

角度が大きい方が、支点からおもりの重心までの距離が長くなりますよ。
やじろべーでは、支点は必ずおもりの重心より上に無ければいけないことに注意して図を書いてみてください。

補足

・・・すみません。理解力が低くて。
支点は、やじろべいを支えている真ん中の点ですよね？
重心の位置の考え方が間違っているのだと思うのですが、すみません。もっと詳しく教えていただけると助かります。
勘違いしているのでしょうか…？