複素数を含む対数の実数部について

質問

以下のような式の展開が本に載っていました。
(1/2)*{(a+jb)*exp(jx)+(a-jb)*exp(-jx)}
=Re[(a+jb)*exp(jx)]

下式から上式への展開できるのは分かりますので等式が成立するのは分かりますが、
なぜ上式から下式が導かれるのかが分かりません。
宜しく御願い致します。

回答No.1

aqfe · ベストアンサー

なぜ・・・と言われましても等式だから…としか答えようがないですね…
・・・というだけの回答ではあまりにもアレなので…

zを複素数としたとき、
　Re[ z ] = (1/2)(z + z^*)
　Im[ z ] = (1/2)(z - z^*)
　（「z^*」はzの複素共役）
は必ず成り立ちます。

というのも、
　z = x + jy
とおくと、
(1/2)(z + z^*) = (1/2){ (x+jy) + (x-jy) }
　　　　　　　　= x = Re[z]
となります。

問題では、
　x = a*cos(x) - b*sin(x)
　y = a*sin(x) + b*cos(x)
ですね。
これを上のxとyにひとつひとつ代入してもらえれば確かに成り立つことが分かると思います。
もちろんxとyは、わざわざ計算して導出する必要はないです。

お礼

ご丁寧な回答ありがとうございました。

理解できました。
答えを知って自分が情けなくなりました。
一から勉強をやり直します。

回答No.2

torahuzuku

No1様が既に完璧な回答をされているので全くの蛇足ですが…。

exp(jx)=cosx+jsinx, exp(-jx)=cosx-jsinx

とおいて、与式に代入して展開して左辺と右辺を比べれば良いかと思います。

お礼

どうもありがとうございます。
いやはや恥ずかしい限りです。